Неравенства в задаче 15

01экзамен

Что проверяют в задаче 15?

В задаче 15 профильного ЕГЭ просят решить неравенство. Чаще всего логарифмическое или показательное.

Также нередко смешанное, то есть логарифм стоит в знаменателе дроби, степень под знаком логарифма. В отдельных вариантах основание логарифма само зависит от $x$ .

За задачу дают два первичных балла, а критерии состоят из трёх пунктов.

2
Обоснованно получен верный ответ
1
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
0
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Слово «обоснованно» здесь главное. Эксперт проверяет не только ответ, но и то, что каждый переход в решении равносилен.

Если переход равносилен не всегда, рядом должны стоять условия, при которых он верен.

Один балл ставят в двух случаях. Первый. В ответе не хватает отдельных точек, то есть потеряна изолированная точка или конец промежутка.

Второй. Ответ неверен из-за ошибки в вычислениях, а все шаги решения записаны верно.

Лишний промежуток, который появился из-за забытого ОДЗ, не подходит ни под один из этих случаев.

забыл ОДЗ — ноль за задачу

Поэтому решение удобно вести по одной и той же схеме из четырёх шагов.

1
Записать ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, основания положительны и не равны единице, знаменатели не обращаются в ноль.
2
Перенести всё в одну часть и привести неравенство к виду «произведение или дробь сравнивается с нулём».
3
Заменить каждый множитель рациональным выражением того же знака и решить получившееся неравенство методом интервалов.
4
Пересечь найденное множество с ОДЗ и записать ответ.

Третий шаг и есть метод рационализации. Разность логарифмов, разность степеней, логарифм в знаменателе заменяются многочленами того же знака.

После замены логарифмов в неравенстве не остаётся, и случаи «основание больше единицы» и «основание меньше единицы» перебирать не нужно. Подробнее обсудим в разделах 03 и 04.

Давайте посмотрим на разбор задачи и проследим за всеми шагами.

разбор линия 15Демоверсия ЕГЭ-2025 и ЕГЭ-2026

Решите неравенство

\dfrac{\log_2(2-x)-\log_2(x+1)}{\log_2^2 x^2+\log_2 x^4+1}\geqslant 0.

Вне (−1; 2) дробь не определена; ±√2/2 и 0 выколоты

ОДЗ. Выписываем его до первого перехода. Под логарифмами стоят три аргумента:

2-x>0,\quad x+1>0,\quad x^2>0.

Отсюда множество, на котором всё дальнейшее и происходит:

-1<x<2,\quad x\ne 0.

Шаг 1. Знаменатель. При $x\ne 0$ верно $x^4=(x^2)^2$ :

\log_2 x^4=2\log_2 x^2.

Подстановка собирает знаменатель в полный квадрат:

\begin{aligned} &\log_2^2 x^2+2\log_2 x^2+1 \\ &=\left(\log_2 x^2+1\right)^2. \end{aligned}

Шаг 2. Нули знаменателя. Квадрат равен нулю при $\log_2 x^2=-1$ :

x^2=\tfrac12,\qquad x=\pm\tfrac{\sqrt2}{2}.

Обе точки лежат в $(-1;\,2)$ и выкалываются. В остальных точках ОДЗ знаменатель строго положителен.

Шаг 3. Дробь → числитель. Знаменатель положителен, поэтому знак дроби — это знак числителя:

\dfrac{N}{D}\geqslant 0,\ D>0\ \iff\ N\geqslant 0.

Шаг 4. Разность логарифмов. Числитель — сравнение двух логарифмов по основанию 2:

\log_2(2-x)\geqslant\log_2(x+1).

Основание больше единицы, логарифм возрастает, а оба аргумента на ОДЗ положительны. Значит, сравнение логарифмов равносильно сравнению аргументов:

2-x\geqslant x+1\iff x\leqslant\tfrac12.

Шаг 5. Пересечение. Берём $x\leqslant\tfrac12$ , оставляем ОДЗ и выкалываем нули знаменателя:

\left(-1;\,-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-\tfrac{\sqrt2}{2};\,0\right)\cup\left(0;\,\tfrac12\right].

Точка $\tfrac{\sqrt2}{2}$ в промежуток и так не попадает.

Ответ:

\left(-1;\,-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(-\tfrac{\sqrt2}{2};\,0\right)\cup\left(0;\,\tfrac12\right]

02метод

Метод интервалов

Любое неравенство задачи 15 в конце концов сводится к одному виду: произведение или дробь из множителей сравнивается с нулём.

\dfrac{(x-x_1)^{k_1}(x-x_2)^{k_2}\cdots}{(x-y_1)^{l_1}(x-y_2)^{l_2}\cdots}\ \vee\ 0.

Знак такой дроби собирается из знаков множителей. Она положительна, когда отрицательных множителей чётное число, и отрицательна, когда нечётное.

Почему знак постоянен между корнями?

Множитель $x-x_1$ положителен при $x>x_1$ и отрицателен при $x<x_1$ . Знак в данном случае меняется в точке корня.

Отметим на прямой все корни числителя и знаменателя. Внутри каждого промежутка ни один множитель знак не меняет, значит, не меняет его и вся дробь.

Поэтому знак на промежутке достаточно узнать в одной его точке.

\dfrac{(x-x_1)^{k_1}\cdots}{(x-y_1)^{l_1}\cdots}\bigg|_{x=x_0}\ \text{— знак на всём промежутке}.

Правее всех корней каждая скобка $x-x_i$ положительна, и дробь положительна. Двигаясь влево, мы пересекаем корни по одному.

При переходе через корень $x_1$ меняет знак только множитель $(x-x_1)^{k_1}$ , причём только если степень $k_1$ нечётная:

(x-x_1)^{2}>0\ \text{по обе стороны от}\ x_1.

Отсюда привычное правило чередования знаков. Но не забываем про исключение.

У простых корней знаки чередуются. У корня чётной кратности знак слева и справа одинаковый, а сам корень при нестрогом знаке входит в ответ отдельной точкой.

чётная степень — знак через корень не меняется

Две важных оговорки. Корни знаменателя в ответ не входят никогда, так как в них дробь не определена.

И правило «справа плюс» верно, только когда у каждой скобки старший коэффициент положителен. Множитель $3-x$ сначала записывают как $-(x-3)$ и меняют знак неравенства.

\dfrac{(x + 3)(x - 1)^2}{(x - 3{,}5)} \geqslant 0

x\in (-\infty;\,-3]\cup \{1\}\cup (3{,}5;\,+\infty)

Перетаскивай корни и меняй степени. Во второй степени множитель не меняет знак при переходе через свой корень, а корень знаменателя всегда выколот.

В задаче 15 множители поначалу выглядят иначе — это логарифмы и степени. Но знак каждого из них меняется в известных точках, и в разделах 03 и 04 их заменят обычными скобками.

Иногда хватает и того, что множитель стоит в квадрате, как в задаче ниже.

разбор линия 15ЕГЭ-2025, основная волна, Санкт-Петербург

Решите неравенство

\dfrac{x^3+x^2-x-1}{4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16}\geqslant 0.

Через двойной корень −1 знак не меняется; ±√2 выколоты

ОДЗ. Логарифмов и корней нет, поэтому условие одно: знаменатель не равен нулю.

Числитель. Группируем и выносим общий множитель:

\begin{aligned} &x^3+x^2-x-1 \\ &=x^2(x+1)-(x+1) \\ &=(x+1)(x^2-1) \\ &=(x+1)^2(x-1). \end{aligned}

Знаменатель. Так как $4^{x^2}=\left(2^{x^2}\right)^2$ , это квадрат:

4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16=\left(2^{x^2}-4\right)^2.

Он равен нулю при $2^{x^2}=2^2$ , то есть при $x^2=2$ :

x=\pm\sqrt2\ \ \text{— выколоты}.

Дробь → числитель. Вне этих двух точек знаменатель строго положителен, значит, знак дроби равен знаку числителя:

(x+1)^2(x-1)\geqslant 0,\quad x\ne\pm\sqrt2.

Метод интервалов. Корень $-1$ кратности 2, корень $1$ простой.

Правее единицы плюс, на $(-1;\,1)$ минус. Через $-1$ знак не меняется — кратность чётная, — поэтому левее тоже минус.

x\geqslant 1\quad\text{или}\quad x=-1.

Знак нестрогий, поэтому точка $-1$ входит в ответ, а соседние промежутки — нет.

Выколотые точки. $-\sqrt2$ в найденное множество не попала, а $\sqrt2$ попала и убирается:

\{-1\}\cup[1;\,\sqrt2)\cup(\sqrt2;\,+\infty).

Ответ:

\{-1\}\cup[1;\,\sqrt2)\cup(\sqrt2;\,+\infty)

03логарифм

Знак логарифма

Логарифм $\log_a b$ определён при $a>0$ , $a\ne 1$ и $b>0$ . Выясним, когда он положителен, а когда отрицателен.

Пусть $a>1$ . Тогда функция $y=\log_a t$ возрастает, и $\log_a 1=0$ . Значит, $\log_a b>0$ ровно при $b>1$ и $\log_a b<0$ при $b<1$ .

Пусть теперь $0<a<1$ . Функция убывает, и неравенства переворачиваются: $\log_a b>0$ при $b<1$ и $\log_a b<0$ при $b>1$ .

Делаем вывод, что логарифм положителен, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от единицы, и отрицателен, когда по разные.

Но «по одну сторону от единицы» — это одинаковые знаки у $a-1$ и $b-1$ , то есть положительное произведение:

\log_a b\ \vee\ 0\iff(a-1)(b-1)\ \vee\ 0.

Значок $\vee$ заменяет любой из знаков $>$ , $<$ , $\geqslant$ , $\leqslant$ — одинаковый слева и справа.

Тот же результат даёт переход к десятичному логарифму:

\log_a b=\dfrac{\lg b}{\lg a}.

Десятичный логарифм возрастает и равен нулю в единице. Поэтому $\lg b$ имеет знак $b-1$ , а $\lg a$ — знак $a-1$ , и знак частного совпадает со знаком произведения.

Знак логарифма — знак произведения скобок.

У $\log_a b$ и $(a-1)(b-1)$ один и тот же знак. Равносильность верна только там, где логарифм существует. Произведение $(a-1)(b-1)$ определено при любых $a$ и $b$ , поэтому условия $a>0$ , $a\ne1$ , $b>0$ записываются отдельно.

Основание a2,50Точка x0,50

logₐ x =—знак логарифма—знак (a − 1)(x − 1)—

Меняй основание и точку. При a < 1 график переворачивается, но вместе с ним меняет знак и множитель a − 1, поэтому два знака внизу всегда совпадают.

Этого правила уже хватает, чтобы убрать логарифм из дроби.

А число рядом с логарифмом сначала записывается логарифмом по тому же основанию: $1=\log_2 2$ . Поэтому $\log_2 u-1=\log_2\tfrac u2$ .

разбор линия 15ЕГЭ-2024, основная волна, резервный день, Санкт-Петербург

Решите неравенство

\dfrac{\log_2\left(2x^2-13x+20\right)-1}{\log_3(x+7)}\leqslant 0.

Знаки дроби после замены; −7, 5/2 и 4 — границы ОДЗ, −6 — корень знаменателя

ОДЗ. Аргумент верхнего логарифма положителен:

2x^2-13x+20=(2x-5)(x-4)>0.

Аргумент нижнего положителен, а сам нижний логарифм не равен нулю:

x+7>0,\qquad x+7\ne 1.

Вместе это даёт множество, на котором работают все дальнейшие переходы:

x\in(-7;\,-6)\cup\left(-6;\,\tfrac52\right)\cup(4;\,+\infty).

Единица под логарифм. Число рядом с логарифмом записываем логарифмом по тому же основанию:

\log_2 u-1=\log_2 u-\log_2 2=\log_2\tfrac u2.

Числитель → скобка. По правилу знака логарифм имеет знак произведения $(a-1)(b-1)$ :

\begin{aligned} &(2-1)\left(\frac{2x^2-13x+20}{2}-1\right) \\ &=\frac{2x^2-13x+18}{2}=\frac{(2x-9)(x-2)}{2}. \end{aligned}

Знак сохраняется в каждой точке ОДЗ, а положительный множитель $\tfrac12$ на него не влияет.

Знаменатель → скобка. С $\log_3(x+7)$ то же правило:

(3-1)(x+7-1)\ \to\ x+6.

Множитель 2 положителен и отбрасывается.

\dfrac{(2x-9)(x-2)}{x+6}\leqslant 0.

Метод интервалов. Корни $-6$ , $2$ , $\tfrac92$ — все простые.

Правее $\tfrac92$ плюс, дальше знаки чередуются. Точка $-6$ — корень знаменателя, поэтому выколота:

x<-6\ \ \text{или}\ \ 2\leqslant x\leqslant\tfrac92.

Пересечение с ОДЗ. От луча $x<-6$ остаётся только $(-7;\,-6)$ .

В отрезок $\left[2;\,\tfrac92\right]$ ОДЗ попадает двумя кусками: $\left[2;\,\tfrac52\right)$ и $\left(4;\,\tfrac92\right]$ .

(-7;\,-6)\cup\left[2;\,\tfrac52\right)\cup\left(4;\,\tfrac92\right].

Ответ:

(-7;\,-6)\cup\left[2;\,\tfrac52\right)\cup\left(4;\,\tfrac92\right]

04метод рационализации

Таблица замен

Правило знака логарифма — частный случай общего приёма. Пусть выражения $F$ и $G$ в каждой точке некоторого множества имеют одинаковый знак: оба положительны, оба отрицательны или оба равны нулю.

Тогда на этом множестве неравенство $F\vee 0$ заменяется неравенством $G\vee 0$ , и решения у них одни и те же.

F\vee 0\iff G\vee 0\quad\text{там, где знаки } F \text{ и } G \text{ совпадают}.

Если выражение — произведение или дробь, заменять можно каждый множитель отдельно, так как знак произведения зависит только от знаков множителей.

Когда $G$ — многочлен, неравенство становится рациональным и решается методом интервалов. Отсюда и название приёма.

Замен, которые нужны в задаче 15, всего четыре.

\log_a f-\log_a g\ \to\ (a-1)(f-g)

при a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0

a^f-a^g\ \to\ (a-1)(f-g)

при a > 0

|f|-|g|\ \to\ (f-g)(f+g)

при любых f и g

\sqrt f-\sqrt g\ \to\ f-g

при f ≥ 0, g ≥ 0

Разность логарифмов

Если $a>1$ , логарифм возрастает: $\log_a f>\log_a g$ при $f>g$ , а равенство — при $f=g$ .

Значит, разность логарифмов имеет знак $f-g$ , а множитель $a-1$ положителен.

Если $0<a<1$ , логарифм убывает, и разность логарифмов имеет знак $g-f$ . Но множитель $a-1$ тогда отрицателен и переворачивает знак обратно.

В обоих случаях получается одна и та же замена:

\begin{aligned} &\log_a f-\log_a g\ \vee\ 0 \\ \iff\ &(a-1)(f-g)\ \vee\ 0. \end{aligned}

Рассуждение ведётся для каждого значения $x$ отдельно. Если основание зависит от $x$ , в каждой точке оно всё равно некоторое число — больше единицы или меньше, и замена верна.

Разность степеней

Показательная функция $y=a^t$ возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$ , а при $a=1$ обе части замены равны нулю.

Рассуждение то же, что для логарифмов:

\begin{aligned} &a^f-a^g\ \vee\ 0 \\ \iff\ &(a-1)(f-g)\ \vee\ 0. \end{aligned}

Частный случай встречается постоянно: $a^f-1$ имеет знак $(a-1)f$ , потому что $1=a^0$ .

Разность степеней с разными основаниями и одним показателем сводится к той же замене:

\begin{aligned} a^f-b^f&=b^f\left(\left(\tfrac ab\right)^f-1\right) \\ &\to\ \left(\tfrac ab-1\right)f\ \to\ (a-b)f. \end{aligned}

Множитель $b^f$ положителен и на знак не влияет.

Модули и корни

Выражения $|f|-|g|$ и $|f|^2-|g|^2$ отличаются множителем $|f|+|g|$ . Он неотрицателен, а равен нулю только вместе с обеими частями.

Значит, знаки у них одинаковые, а квадраты модулей — это обычные квадраты:

|f|^2-|g|^2=f^2-g^2=(f-g)(f+g).

Для корней при $f,g\geqslant 0$ так же:

\sqrt f-\sqrt g=\dfrac{f-g}{\sqrt f+\sqrt g}.

Знаменатель положителен, если $f$ и $g$ не равны нулю одновременно, а в этом случае обе части равны нулю.

У всех четырёх замен одно ограничение: они сохраняют знак, но не область определения. Многочлен справа определён везде, а логарифм и корень слева — нет.

И заменять можно только множители произведения или дроби, сравниваемой с нулём. Слагаемые так заменять нельзя: у суммы, например $\log_2 x+\log_3 x$ , знак не собирается из знаков слагаемых по отдельности.

Поэтому сумму сначала приводят к нужному виду: собирают в один логарифм по общему основанию или переносят всё в одну часть и сводят к произведению или дроби. Только после этого работает замена.

замена сохраняет знак, но не ОДЗ

Вот задача, в которой основание зависит от x и без замены пришлось бы разбирать случаи.

разбор линия 15ЕГЭ-2024, досрочная волна, резервный день

Решите неравенство

\begin{aligned} &2\log_{(x^2-6x+10)^2}\left(5x^2+3\right) \\ &\leqslant\log_{x^2-6x+10}\left(4x^2+7x+3\right). \end{aligned}

Корень 3 чётной кратности: знак не меняется, а точка выколота по ОДЗ

ОДЗ. Обозначим основание $a=x^2-6x+10$ и выделим полный квадрат:

a=(x-3)^2+1\geqslant 1.

Основание положительно при любом $x$ , а единице равно при $x=3$ — тогда и $a^2=1$ .

Аргумент $5x^2+3$ положителен всегда, второй аргумент раскладывается:

4x^2+7x+3=(4x+3)(x+1)>0.

Складываем все условия и получаем множество, на котором дальше всё и происходит:

x<-1\ \ \text{или}\ \ x>-\tfrac34,\quad x\ne 3.

Одно основание. При $a>0$ , $a\ne1$ степень основания выносится множителем:

\log_{a^2}b=\dfrac{\log_a b}{\log_a a^2}=\tfrac12\log_a b.

Поэтому двойка перед левым логарифмом сокращается, и оба логарифма оказываются по основанию $a$ .

Всё в одну часть. Переносим правый логарифм влево:

\begin{aligned} &\log_a\left(5x^2+3\right) \\ &-\log_a\left(4x^2+7x+3\right)\leqslant 0. \end{aligned}

Теперь слева разность логарифмов по одному основанию — ровно та, для которой есть замена.

Замена. Разность логарифмов имеет знак произведения $(a-1)(f-g)$ :

\begin{aligned} &(a-1)\left(5x^2+3-4x^2-7x-3\right) \\ &=(x-3)^2\,x\,(x-7). \end{aligned}

Метод интервалов. Решаем $(x-3)^2x(x-7)\leqslant 0$ .

Корни $0$ и $7$ простые, корень $3$ кратности 2. Правее семи плюс, на $(3;\,7)$ минус, через тройку знак не меняется:

0\leqslant x\leqslant 7.

Пересечение с ОДЗ. Отрезок целиком лежит правее $-\tfrac34$ , но точка $3$ выбрасывается:

[0;\,3)\cup(3;\,7].

На эту точку указывает сам множитель $(x-3)^2$ : при $x=3$ он обнуляется, а исходное неравенство в ней смысла не имеет.

Ответ:

[0;\,3)\cup(3;\,7]

05равносильность

Область допустимых значений

Замена из таблицы сохраняет знак только там, где исходное выражение определено.

За пределами этого множества сравнивать нечего. Например, у $\log_5(x-5)$ при $x=4$ знака нет, а у скобки $x-6$ он есть.

Поэтому рациональное неравенство после замены может выполняться и там, где исходное смысла не имеет. Такие точки попадут в его решение, но решениями не станут.

Определим правило. ОДЗ выписывается в самом начале и отдельной системой.

В задаче 15 условия в него дают три вида выражений:

\begin{aligned} &\log_{a}f:\ \ f>0,\ \ a>0,\ \ a\ne 1; \\ &\tfrac{P}{Q}:\ \ Q\ne 0; \\ &\sqrt{f}:\ \ f\geqslant 0. \end{aligned}

Условие $a\ne1$ для логарифма в знаменателе встречается дважды: как требование к основанию и как $\log_a f\ne 0$ , то есть $f\ne 1$ .

В конце решения найденное множество пересекается с ОДЗ, и это пересечение — ответ.

\dfrac{\log_5(5x-27)}{\log_5(x-5)}\geqslant 1

x\in (\tfrac{27}{5};\,\tfrac{11}{2}]\cup (6;\,+\infty)

ОДЗ:

x>5{,}4,\ x\ne 6

после замены:

\dfrac{4x-22}{x-6}\geqslant 0

Переключайте примеры и нажмите «забыть ОДЗ». Розовые куски — это значения, при которых исходное неравенство не имеет смысла, но замена их пропускает.

Преобразования, которые сужают ОДЗ

Есть и обратная ловушка. Формула $\log_a(fg)=\log_a f+\log_a g$ верна только при $f>0$ и $g>0$ , а в неравенстве известно лишь, что $fg>0$ .

Правая часть определена на меньшем множестве, и часть решений пропадает.

Равносильные формулы — с модулями. Первая верна при $fg>0$ , вторая при $f\ne 0$ :

\begin{aligned} \log_a(fg)&=\log_a|f|+\log_a|g|, \\ \log_a f^2&=2\log_a|f|. \end{aligned}

Частые ошибки тут такие. Забудете ОДЗ — получите лишний промежуток. Разложите логарифм произведения без модулей — потеряете промежуток.

Обе ошибки видны в следующей задаче.

разбор линия 15ЕГЭ-2025, досрочная волна, вариант ФИПИ

Решите неравенство

7\log_{12}\left(x^2-13x+42\right)\leqslant 8+\log_{12}\dfrac{(x-7)^7}{x-6}.

Отрезок [−6; 18] пересечён с ОДЗ: середина [6; 7] выброшена

ОДЗ. Первое условие — положительность аргумента левого логарифма:

x^2-13x+42=(x-6)(x-7)>0.

Второе — положительность аргумента правого:

\dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0.

Так как $(x-7)^7=(x-7)^6(x-7)$ и $(x-7)^6>0$ при $x\ne 7$ , эта дробь имеет знак $(x-7)(x-6)$ . Оба условия совпадают:

x<6\ \ \text{или}\ \ x>7.

Разложение с модулями. На ОДЗ произведение положительно, но каждый множитель по отдельности может быть отрицательным.

Поэтому будем раскладывать через модули, потому что иначе правая часть окажется определена на меньшем множестве:

\begin{aligned} &\log_{12}\left(x^2-13x+42\right) \\ &=\log_{12}|x-6|+\log_{12}|x-7|, \end{aligned}

\begin{aligned} &\log_{12}\dfrac{(x-7)^7}{x-6} \\ &=7\log_{12}|x-7|-\log_{12}|x-6|. \end{aligned}

Сокращение. Слагаемое $7\log_{12}|x-7|$ стоит в обеих частях и уходит:

\begin{aligned} 7\log_{12}|x-6|&\leqslant 8-\log_{12}|x-6|, \\ \log_{12}|x-6|&\leqslant 1. \end{aligned}

Замена. Единицу справа записываем как $\log_{12}12$ и применяем правило для разности логарифмов:

(12-1)\bigl(|x-6|-12\bigr)\ \vee\ 0.

Множитель $11$ положителен, поэтому остаётся неравенство с модулем:

|x-6|\leqslant 12\iff -6\leqslant x\leqslant 18.

Пересечение с ОДЗ. Из отрезка $[-6;\,18]$ вырезаем $[6;\,7]$ :

[-6;\,6)\cup(7;\,18].

Ответ:

[-6;\,6)\cup(7;\,18]

06переменное основание

Карта знаков логарифма

График из раздела 03 показывает одно основание за раз. Если основание тоже меняется, удобнее смотреть на плоскость с координатами $(a;\,x)$ и строить над каждой её точкой высоту $z=\log_a x$ .

z=\log_a x=\dfrac{\lg x}{\lg a}.

Получается поверхность, и правило знака на ней видно целиком.

Прямые $a=1$ и $x=1$ делят квадрат на четыре клетки. Над клетками, где $a$ и $x$ по одну сторону от единицы, поверхность выше нуля.

Над двумя другими — ниже, а вдоль прямой $x=1$ она проходит через ноль при любом основании.

Над прямой $a=1$ поверхности нет совсем, ведь знаменатель $\lg a$ стремится к нулю, и значение уходит в бесконечность.

Основание a2,20Аргумент x0,50

logₐ x =—знак логарифма—знак (a − 1)(x − 1)—

Двигай точку ползунками и поворачивай сцену. Над голубыми клетками пола поверхность выше нуля, над синими — ниже; над линией a = 1 поверхности нет.

В неравенстве с переменным основанием и $a(x)$ , и аргумент $f(x)$ меняются вместе с $x$ . Точка $(a(x);\,f(x))$ чертит на этой плоскости линию.

Знак логарифма меняется только там, где линия пересекает прямую $a=1$ или $f=1$ .

(a-1)(f-1)=0\ \text{— все точки смены знака}.

Эти пересечения и есть нули произведения, поэтому метод интервалов после замены находит их все сразу.

Логарифм с переменным основанием записан не всегда явно. Частное двух логарифмов по одному основанию — тоже логарифм:

\dfrac{\log_5 f}{\log_5 g}=\log_g f.

разбор линия 15ЕГЭ-2024, основная волна, резервный день

Решите неравенство

\dfrac{\log_5(5x-27)}{\log_5(x-5)}\geqslant 1.

Левее 27/5 неравенства нет; 6 — корень знаменателя и выколот

ОДЗ. Три условия, и все выписываются до первого перехода:

5x-27>0,\quad x-5>0,\quad \log_5(x-5)\ne 0.

Последнее означает $x-5\ne 1$ . Вместе:

x>\tfrac{27}{5},\quad x\ne 6.

Что нельзя делать. Левая часть — это $\log_{x-5}(5x-27)$ , логарифм с переменным основанием.

Умножать обе части на знаменатель нельзя, так как его знак зависит от $x$ , а вместе с ним и знак неравенства.

Всё в одну часть. Вычитаем единицу и приводим к общему знаменателю:

\dfrac{\log_5(5x-27)-\log_5(x-5)}{\log_5(x-5)}\geqslant 0.

Числитель → скобка. Это разность логарифмов по основанию 5:

\begin{aligned} &(5-1)\bigl((5x-27)-(x-5)\bigr) \\ &=4(4x-22). \end{aligned}

Знаменатель → скобка. По правилу знака логарифма:

(5-1)(x-5-1)=4(x-6).

Положительные множители отбрасываем, ведь на знак они не влияют. Двойку у $4x-22$ тоже:

\dfrac{2x-11}{x-6}\geqslant 0.

Метод интервалов. Корень числителя $\tfrac{11}{2}$ в решение входит, корень знаменателя $6$ выколот.

x\leqslant\tfrac{11}{2}\ \ \text{или}\ \ x>6.

Пересечение с ОДЗ. Луч $x>6$ сохраняется целиком, а левый обрезается снизу:

\left(\tfrac{27}{5};\,\tfrac{11}{2}\right]\cup(6;\,+\infty).

На карте знаков это читается так: при $x\in\left(\tfrac{27}{5};\,6\right)$ основание $x-5$ меньше единицы, и логарифм не меньше единицы, пока аргумент не больше основания.

При $x>6$ основание больше единицы, и условие переворачивается.

Ответ:

\left(\tfrac{27}{5};\,\tfrac{11}{2}\right]\cup(6;\,+\infty)

07сводка

Шпаргалка и типичные ошибки

Ниже всё, что нужно знать и запомнить: все замены метода рационализации и две формулы, которые чаще всего нужны до замены.

\log_a b\ \vee\ 0\ \to\ (a-1)(b-1)

знак логарифма; a > 0, a ≠ 1, b > 0

\log_a f-\log_a g\ \to\ (a-1)(f-g)

разность логарифмов, основание может зависеть от x

a^f-a^g\ \to\ (a-1)(f-g)

разность степеней; a > 0

a^f-b^f\ \to\ (a-b)f

разные основания, один показатель; a, b > 0

|f|-|g|\ \to\ (f-g)(f+g)

разность модулей

\sqrt f-\sqrt g\ \to\ f-g

разность корней; f, g ≥ 0

\log_a f^2=2\log_a|f|

степень выносится с модулем; f ≠ 0

\log_{a^2} b=\tfrac12\log_{|a|} b

степень основания; a ≠ 0, a² ≠ 1

Где теряют баллы

Большинство ошибок в задаче 15 связаны не с методом интервалов, а с тем, что происходит до него и после, а именно с ОДЗ и с преобразованиями логарифмов.

Разность логарифмов заменили скобкой и решили получившееся неравенство, не выписав ОДЗ.

Замена сохраняет знак только там, где логарифмы определены. Найденное множество пересекают с ОДЗ.

В ОДЗ записали только положительность основания логарифма.

Основание ещё и не равно единице. Если логарифм стоит в знаменателе, аргумент тоже не равен единице.

log(x − 6)(x − 7) расписали как log(x − 6) + log(x − 7), а log(x − 7)⁷ — как 7 log(x − 7).

Если известно лишь, что произведение положительно, раскладывают с модулями: log|x − 6| + log|x − 7|.

После замены строгий знак стал нестрогим, и корень знаменателя попал в ответ.

Знак неравенства при замене не меняется. Корни знаменателя выколоты всегда.

Знаки на промежутках чередовали механически, в том числе через корень во второй степени.

Через корень чётной кратности знак сохраняется, а при нестрогом знаке сам корень входит в ответ точкой.

Обе части умножили на знаменатель, в котором стоит логарифм.

Знак знаменателя заранее неизвестен. Всё переносят в одну часть и сравнивают дробь с нулём.

По таблице заменили слагаемые суммы: log₂x + log₃x.

Заменять можно только множители произведения или дроби, которая сравнивается с нулём.

задачи

Проверьте себя

Решите неравенство, выберите ответ и нажмите «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей.

Всё нужное для решения собрано в шпаргалке выше.

1

Решите неравенство

2^{\log_2\left(3^x-1\right)}+9^x-11\leqslant 0.

ЕГЭ-2026, основная волна, Сибирь

Разбор

Решение

ОДЗ. Тождество $2^{\log_2 u}=u$ верно только при $u>0$ :

3^x-1>0\iff x>0.

Свёртка. На ОДЗ тождество применимо, и неравенство становится показательным:

\begin{aligned} 3^x-1+9^x-11&\leqslant 0, \\ \left(3^x\right)^2+3^x-12&\leqslant 0. \end{aligned}

Разложение. Это квадратный трёхчлен относительно $3^x$ :

\left(3^x+4\right)\left(3^x-3\right)\leqslant 0.

Замена. Первый множитель положителен и отбрасывается, а $3^x-3^1$ имеет знак $(3-1)(x-1)$ :

x\leqslant 1.

Пересечение с ОДЗ. Остаётся $0<x\leqslant 1$ .

Ответ:

(0;\,1]

2

Решите неравенство

\dfrac{x^2+2x}{\log_2\left(9\cdot 3^x\right)}\leqslant 0.

ЕГЭ-2026, основная волна, Санкт-Петербург

Разбор

Решение

ОДЗ. Аргумент $9\cdot 3^x$ положителен при любом $x$ , но знаменатель не равен нулю:

9\cdot 3^x\ne 1\iff 3^{x+2}\ne 3^0\iff x\ne-2.

Первая замена. Логарифм $\log_2 3^{x+2}$ имеет знак $(2-1)\left(3^{x+2}-1\right)$ .

Вторая замена. Разность степеней $3^{x+2}-3^0$ имеет знак $(3-1)(x+2)$ . Обе замены верны на всём ОДЗ:

\dfrac{x(x+2)}{x+2}\leqslant 0,\quad x\ne-2.

Сокращение. При $x\ne-2$ дробь сокращается и остаётся $x\leqslant 0$ .

Точку $-2$ выкалываем, так как в ней знаменатель исходной дроби равен нулю.

Ответ:

(-\infty;\,-2)\cup(-2;\,0]

3

Решите неравенство

\dfrac{2^{3x}-10\cdot 2^{2x}+17\cdot 2^{x}-8}{x}\geqslant 0.

ЕГЭ-2025, основная волна, Дальний Восток

Разбор

Решение

ОДЗ. Логарифмов нет, условие одно: $x\ne 0$ .

Разложение. Обозначим $t=2^x$ . У многочлена $t^3-10t^2+17t-8$ есть корень $t=1$ , и деление на $t-1$ даёт

\begin{aligned} &t^3-10t^2+17t-8 \\ &=(t-1)\left(t^2-9t+8\right) \\ &=(t-1)^2(t-8). \end{aligned}

Замена. $2^x-2^0$ имеет знак $x$ , а $2^x-2^3$ — знак $x-3$ . Квадрат переходит в квадрат:

\dfrac{x^2(x-3)}{x}\geqslant 0.

Сокращение. При $x\ne 0$ остаётся $x(x-3)\geqslant 0$ :

x\leqslant 0\ \ \text{или}\ \ x\geqslant 3.

Точка $0$ — корень знаменателя и в ответ не входит, хотя числитель в ней тоже равен нулю.

Ответ:

(-\infty;\,0)\cup[3;\,+\infty)

4

Решите неравенство

2\cdot 20^x-17\cdot 10^x-2\cdot 8^x+8\cdot 5^x+17\cdot 4^x-2^{x+3}\leqslant 0.

ЕГЭ-2020, основная волна, резервный день

Разбор

Решение

Обозначения. Пусть $u=2^x$ и $v=5^x$ . Тогда $20^x=u^2v$ , $10^x=uv$ , $8^x=u^3$ , $4^x=u^2$ , $2^{x+3}=8u$ .

Группировка. Собираем слагаемые с $v$ и без него:

\begin{aligned} &v\left(2u^2-17u+8\right) \\ &-u\left(2u^2-17u+8\right) \\ &=(v-u)(2u-1)(u-8). \end{aligned}

Замена. Каждый множитель — разность степеней, и у каждого свой знак:

\begin{aligned} 5^x-2^x&\ \to\ (5-2)x, \\ 2^{x+1}-2^0&\ \to\ x+1, \\ 2^x-2^3&\ \to\ x-3. \end{aligned}

Положительные множители отброшены, и неравенство стало рациональным:

x(x+1)(x-3)\leqslant 0.

Метод интервалов. Корни $-1$ , $0$ , $3$ простые, правее трёх плюс, дальше знаки чередуются.

Минус стоит на $(0;\,3)$ и левее $-1$ . Знак нестрогий, концы входят.

Ответ:

(-\infty;\,-1]\cup[0;\,3]

5

Решите неравенство

\log_3^2(x-4)-\log_3^2(x-6)\leqslant 0.

ЕГЭ-2023, основная волна, Санкт-Петербург

Разбор

Решение

ОДЗ. $x-4>0$ и $x-6>0$ , то есть $x>6$ .

Разложение. Слева разность квадратов:

\begin{aligned} &\bigl(\log_3(x-4)-\log_3(x-6)\bigr) \\ &\cdot\bigl(\log_3(x-4)+\log_3(x-6)\bigr)\leqslant 0. \end{aligned}

Первый множитель. Его знак — знак $(3-1)\bigl((x-4)-(x-6)\bigr)=4$ , то есть он положителен и на знак произведения не влияет.

Второй множитель. На ОДЗ оба аргумента положительны, поэтому логарифм произведения раскладывается без модулей:

\log_3(x-4)+\log_3(x-6)=\log_3\bigl((x-4)(x-6)\bigr).

Замена. Знак этого логарифма — знак $(x-4)(x-6)-1$ :

\begin{aligned} &x^2-10x+23\leqslant 0 \\ &\iff 5-\sqrt2\leqslant x\leqslant 5+\sqrt2. \end{aligned}

Пересечение с ОДЗ. $5-\sqrt2$ лежит левее шести, а $5+\sqrt2$ правее. Остаётся $6<x\leqslant 5+\sqrt2$ .

Ответ:

(6;\,5+\sqrt2]

6

Решите неравенство

\bigl(\log^2_{0{,}25}(x+3)-\log_4\left(x^2+6x+9\right)+1\bigr)\cdot\log_4(x+2)\leqslant 0.

ЕГЭ-2023, основная волна, Дальний Восток

Разбор

Решение

ОДЗ. $x+3>0$ , $x+2>0$ , $(x+3)^2>0$ . Всё сводится к $x>-2$ .

Одно основание. Так как $\log_{0{,}25}u=-\log_4 u$ , квадрат равен $\log_4^2(x+3)$ .

На ОДЗ $x+3>0$ , поэтому степень выносится без модуля: $\log_4(x+3)^2=2\log_4(x+3)$ .

Свёртка. Первый множитель оказывается полным квадратом:

\begin{aligned} &\log_4^2(x+3) \\ &-2\log_4(x+3)+1 \\ &=\bigl(\log_4(x+3)-1\bigr)^2. \end{aligned}

Замена. Единицу и ноль записываем логарифмами по основанию 4:

\begin{aligned} \log_4(x+3)-\log_4 4&\ \to\ x-1, \\ \log_4(x+2)-\log_4 1&\ \to\ x+1. \end{aligned}

Неравенство стало рациональным:

(x-1)^2(x+1)\leqslant 0.

Метод интервалов. Корень $1$ чётной кратности: знак через него не меняется, но в самой точке выражение равно нулю, и она входит в ответ.

Остальное — $x\leqslant-1$ . С учётом ОДЗ получаем $(-2;\,-1]$ и отдельную точку $1$ .

Ответ:

(-2;\,-1]\cup\{1\}

7

Решите неравенство

x^2\log_{243}(4-x)\leqslant\log_3\left(x^2-8x+16\right).

ЕГЭ-2020, основная волна, Москва

Разбор

Решение

ОДЗ. $4-x>0$ и $(x-4)^2>0$ , то есть $x<4$ .

Одно основание. Так как $243=3^5$ , верно $\log_{243}(4-x)=\tfrac15\log_3(4-x)$ .

На ОДЗ $4-x>0$ , поэтому справа степень выносится без модуля: $\log_3(4-x)^2=2\log_3(4-x)$ .

Всё в одну часть. Общий логарифм выносится за скобку:

\begin{aligned} \left(\tfrac{x^2}{5}-2\right)\log_3(4-x)&\leqslant 0, \\ \left(x^2-10\right)\log_3(4-x)&\leqslant 0. \end{aligned}

Замена. Логарифм имеет знак $(4-x)-1=3-x$ , и получается $(x^2-10)(3-x)\leqslant 0$ . После смены знака у скобки:

\begin{aligned} &\left(x+\sqrt{10}\right)(x-3) \\ &\cdot\left(x-\sqrt{10}\right)\geqslant 0. \end{aligned}

Метод интервалов. Корни $-\sqrt{10}$ , $3$ , $\sqrt{10}$ , все простые.

[-\sqrt{10};\,3]\cup[\sqrt{10};\,+\infty).

Пересечение с ОДЗ. Условие $x<4$ обрезает последний луч до $[\sqrt{10};\,4)$ .

Ответ:

[-\sqrt{10};\,3]\cup[\sqrt{10};\,4)

8

Решите неравенство

2\log_3\left(x\sqrt3\right)-\log_3\dfrac{x}{1-x}\leqslant\log_3\left(9x^2+\dfrac1x-4\right).

ЕГЭ-2026, основная волна, резервный день, Санкт-Петербург

Разбор

Решение

ОДЗ. Три условия на положительность аргументов:

x\sqrt3>0,\quad \tfrac{x}{1-x}>0,\quad 9x^2+\tfrac1x-4>0.

Первые два дают $0<x<1$ . Третье проверим в конце — оно окажется следствием остальных.

Сборка левой части. При $x>0$ верно $2\log_3\left(x\sqrt3\right)=\log_3\left(3x^2\right)$ , и разность логарифмов сворачивается:

\log_3\dfrac{3x^2(1-x)}{x}=\log_3\bigl(3x(1-x)\bigr).

Замена. Разность логарифмов по основанию 3 имеет знак разности аргументов:

3x(1-x)-9x^2-\dfrac1x+4\leqslant 0.

Множитель x. Умножаем на $x>0$ — знак неравенства от этого не меняется:

\begin{aligned} 12x^3-3x^2-4x+1&\geqslant 0, \\ 3x^2(4x-1)-(4x-1)&\geqslant 0, \\ (4x-1)\left(3x^2-1\right)&\geqslant 0. \end{aligned}

Метод интервалов. На $(0;\,1)$ корни $\tfrac14$ и $\tfrac{\sqrt3}{3}$ .

Правее второго плюс, между ними минус, левее $\tfrac14$ снова плюс: $\left(0;\,\tfrac14\right]\cup\left[\tfrac{\sqrt3}{3};\,1\right)$ .

Третье условие. На этом множестве оно выполнено само: $9x^2+\tfrac1x-4\geqslant 3x(1-x)$ , а $3x(1-x)>0$ при $0<x<1$ .

Ответ:

\left(0;\,\tfrac14\right]\cup\left[\tfrac{\sqrt3}{3};\,1\right)