Теория вероятностей на ЕГЭ

01основания

Опыт, исход и событие

Теория вероятностей начинается со случайного опыта — действия, результат которого заранее неизвестен. Бросок кости, вытянутый билет, жребий перед матчем.

Каждый мыслимый результат опыта называют исходом. Список исходов выписывают до всякого счёта: пока его нет, считать нечего.

Событие — это набор исходов, которые нас устраивают. Событие «выпало чётное число очков» собрано из трёх исходов: 2, 4 и 6.

Вероятность как отношение

Когда исходов конечное число и все они равноправны, вероятность события считают отношением:

P(A) = \frac{m}{n}.

Здесь $n$ — число всех исходов опыта, $m$ — число тех из них, при которых событие $A$ наступает. Оба числа целые.

Отсюда видно, в каких границах живёт вероятность. У события без единого благоприятного исхода она равна нулю, у события, которому годится любой исход, — единице.

0 \le P(A) \le 1.

Это первая проверка ответа. Число вне отрезка от нуля до единицы означает ошибку в подсчёте исходов, а не редкое событие.

Синих шаров4Белых шаров8Вынимаем2

доля синих—хотя бы один синий—все синие—

Меняй состав урны и число вынимаемых шаров. Два вопроса об одном опыте дают разные ответы: хотя бы один синий случается куда чаще, чем все синие сразу.

Задача линии 4 почти всегда решается прямо по определению: сосчитать все исходы, сосчитать благоприятные, поделить одно на другое.

разбор линия 4ЕГЭ-2025, основная волна, Центр

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Дано

$\text{всего} = 20$

$\text{Россия} = 8$

$\text{США} = 7$

Найти

$P$

Выделены исходы, при которых первой выступает гимнастка из Китая.

Опыт здесь один: жребий назначает, кто выступает первой. Исходов ровно столько, сколько спортсменок:

n = 20.

Жребий честный, поэтому все двадцать исходов равновозможны. Благоприятны те, где первой идёт китаянка:

m = 20 - 8 - 7 = 5.

Остаётся поделить:

P = \frac{5}{20} = 0{,}25.

Ответ: 0,25

02пространство исходов

Когда исходы равновозможны

У формулы отношения есть условие, и о нём забывают чаще всего: исходы опыта должны быть равновозможными.

Равновозможность берётся из устройства опыта, а не из формулировки. Её дают симметричная монета, правильная кость, честный жребий.

Ловушка суммы

Кость бросают дважды и спрашивают про сумму очков. Сумма принимает одиннадцать значений, от 2 до 12, и хочется поделить единицу на одиннадцать.

Так считать нельзя. Сумма 2 получается единственным способом, а сумма 7 — шестью, и значения суммы равновозможными не являются.

Равновозможны здесь пары «первый бросок, второй бросок». Их число даёт правило умножения:

n = 6 \cdot 6 = 36.

Каждая такая пара выпадает с вероятностью $1/36$ , и любое событие об этом опыте складывается из пар, а не из сумм.

благоприятных—вероятность—

Выбирай событие и смотри, какие клетки поднимаются. Каждая клетка — один исход пары бросков, и все 36 клеток равновозможны; событие складывается из них, а не из значений суммы.

Отсюда рабочее правило. Пространство исходов берут самое подробное, где симметрия видна прямо; укрупнённое описание равновозможность теряет.

разбор линия 4ЕГЭ-2024, досрочная волна, Москва

Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 8».

Дано

$\text{два броска кости}$

$\text{шестёрок нет}$

Найти

$P$

Выделены пары без шестёрок, дающие сумму 8.

Условие задачи убирает часть исходов: на каждом броске остались очки от 1 до 5. Считать нужно внутри этого суженного набора пар:

n = 5 \cdot 5 = 25.

Пары с суммой 8 выпишем перебором по первому броску:

(3;\,5),\quad (4;\,4),\quad (5;\,3).

Пара $(2;\,6)$ сюда не попадает: шестёрки запрещены условием. Благоприятных исходов три:

P = \frac{3}{25} = 0{,}12.

Ответ: 0,12

03приём

Противоположное событие

У любого события есть противоположное: оно наступает ровно тогда, когда исходное не наступило. Вместе они покрывают все исходы опыта и не пересекаются.

Записывают его чертой сверху, и сумма вероятностей пары всегда равна единице:

P(A) + P(\bar A) = 1.

Запись $\bar A$ читают «не A»: это событие собрано из всех оставшихся исходов. Отсюда рабочая форма:

P(A) = 1 - P(\bar A).

Выделено противоположное событие: всё, что не вошло в A.

Переход к противоположному выгоден, когда благоприятных исходов много, а неблагоприятных мало. Тогда короткий подсчёт идёт по второму списку.

Главный случай такого рода — событие «хотя бы один». Оно противоположно событию «ни одного», а «ни одного» описывается единственной цепочкой неудач.

хотя бы один — это единица минус ни одного

разбор линия 4ЕГЭ-2023, досрочная волна, Дальний Восток

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Физик» как минимум один раз начнёт игру первой.

Дано

$\text{матчей } 3$

$P(\text{первой}) = 0{,}5$

Найти

$P$

Выделен единственный исход «ни разу не первой» — противоположное событие.

Каждый матч даёт два равновозможных исхода, а три матча — тройку таких исходов:

n = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.

Событие «как минимум один раз первой» собрано из семи троек, и выписывать их незачем. Противоположное ему событие «ни разу не первой» задаётся одной тройкой:

P(\bar A) = \frac{1}{8} = 0{,}125.

Остаётся вычесть найденное из единицы:

P(A) = 1 - 0{,}125 = 0{,}875.

Ответ: 0,875

04сложение

Сложение вероятностей

Два события называют несовместными, когда они не могут произойти в одном опыте вместе. На одном броске кости единица и двойка несовместны.

У несовместных событий списки благоприятных исходов не пересекаются, поэтому складываются и вероятности:

P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B).

Запись $A \text{ или } B$ означает «случилось хотя бы одно из двух». Считать её суммой можно только при несовместности.

Когда события пересекаются

Если события могут случиться вместе, простая сумма завышает ответ. Исходы, годные обоим событиям, входят в неё дважды, и лишний раз надо вычесть:

P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ и } B).

Вычитаемое $P(A \text{ и } B)$ — вероятность того, что в одном опыте произошли оба события. У несовместных пар она равна нулю, и формула превращается в простую сумму.

Выделена общая часть — исходы, которые простая сумма считает дважды.

Вероятность A0,45Вероятность B0,35Общая часть0,15

сумма—общая часть—A или B—

Сдвигай общую часть и сравнивай два верхних табло. Пока события несовместны, сумма и есть ответ; как только появляется общая часть, её приходится вычитать.

разбор линия 5ЕГЭ-2023, досрочная волна, Дальний Восток

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Дано

$P(A) = 0{,}2$

$P(B) = 0{,}2$

$P(A \text{ и } B) = 0{,}16$

Найти

$P$

Выделен случай, когда кофе закончился сразу в обоих автоматах.

Обозначим через $A$ событие «кофе закончился в первом автомате», через $B$ — «во втором». По условию оба имеют вероятность 0,2, а вместе случаются с вероятностью 0,16.

События совместны, поэтому вероятность «хотя бы в одном» считается с вычитанием общей части:

P(A \text{ или } B) = 0{,}2 + 0{,}2 - 0{,}16 = 0{,}24.

Кофе останется в обоих автоматах ровно тогда, когда не случилось ни одного из этих событий:

P = 1 - 0{,}24 = 0{,}76.

Независимости здесь нет: произведение $0{,}2 \cdot 0{,}2$ дало бы 0,04, а условие называет 0,16. Автоматы стоят рядом и пустеют вместе.

Ответ: 0,76

05умножение

Умножение и независимость

Второй вопрос про пару событий — как часто они случаются вместе. Ответ даёт правило умножения:

P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B \mid A).

Второй множитель $P(B \mid A)$ — условная вероятность: вероятность события $B$ при условии, что $A$ уже произошло.

Что делает условие

Условие не меняет опыт, оно сужает список исходов. Остаётся только та часть, где $A$ случилось, и доли считаются уже внутри неё:

P(B \mid A) = \frac{P(A \text{ и } B)}{P(A)}.

Выделена часть события B, где произошло и A: условная вероятность считается внутри B.

Так решалась задача про две кости без шестёрок. Условие оставило 25 пар из 36, и благоприятные пары считались внутри этих 25.

Независимость

События независимы, когда одно не меняет шансов другого. Тогда $P(B \mid A) = P(B)$ , и правило умножения принимает короткий вид:

P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B).

Независимость берут из условия, а не из удобства. Повторные выстрелы, разные лампы, разные броски независимы; в задаче про кофейные автоматы независимости не было, и произведение давало неверный ответ.

разбор линия 5ЕГЭ-2022, досрочная волна, Москва

Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Дано

$\text{выстрелов } 4$

$p = 0{,}8$

Найти

$P$

Выделены выстрелы, которые по условию попадают в цель.

Выстрелы независимы. Вероятность промаха — противоположное событие к попаданию:

q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2.

Условие задаёт порядок: попал, попал, промахнулся, промахнулся. Это одна цепочка исходов, и её вероятность равна произведению:

P = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}0256.

Округление до сотых даёт ответ:

P \approx 0{,}03.

Ответ: 0,03

06инструмент

Дерево исходов

Когда опыт идёт шагами, вместо формул удобнее рисунок. Дерево исходов показывает каждый шаг развилкой, а каждую полную цепочку — ветвью.

На рёбрах пишут вероятности шагов, на концах ветвей — их произведения:

P(\text{ветвь}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k.

Множитель $p_i$ — вероятность $i$ -го шага при уже сделанных предыдущих, а $k$ — число шагов. Это правило умножения, записанное вдоль ветви.

Разные ветви несовместны: опыт идёт по одной из них. Поэтому вероятность события — сумма по тем ветвям, которые его дают.

Сумма вероятностей всех ветвей яруса равна единице, и это готовая проверка рисунка:

\sum_{\text{ветви}} P(\text{ветвь}) = 1.

Вероятность «да»0,60

шагов—ветвей—вероятность ветви—

Строй ветвь кнопками и меняй вероятность шага. Вероятность ветви — произведение чисел на её рёбрах, и сумма по всем ветвям яруса всегда даёт единицу.

Задачи линии 5 почти все решаются деревом. Его видно и там, где про шаги в условии нет ни слова: достаточно, чтобы опыт распадался на этапы.

разбор линия 4ЕГЭ-2025, досрочная волна, Центр

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только последнюю игру.

Дано

$\text{игр } 3$

$p = 0{,}5$

Найти

$P$

Выделена единственная ветвь: не начинает, не начинает, начинает.

Опыт идёт тремя шагами, на каждом жребий даёт два равновозможных исхода. Дерево из трёх ярусов заканчивается восемью ветвями:

n = 2^3 = 8.

Слово «только» задаёт всю цепочку целиком: в первых двух играх «Стартер» не начинает, в третьей начинает. Такая ветвь одна.

P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125.

Ответ совпадает с прямым подсчётом по восьми ветвям: $1/8 = 0{,}125$ . Жребии честные, и все ветви равновозможны.

Ответ: 0,125

07разбиение

Формула полной вероятности

Часто опыт начинается с выбора, о котором в вопросе ни слова: из какой партии взята деталь, исправна ли батарейка, какой стрелок стрелял. Такой выбор называют гипотезой.

Гипотезы делят все исходы на непересекающиеся части и покрывают их целиком. Событие может случиться внутри каждой части, и вклады складываются:

P(A) = P(H_1)\,P(A \mid H_1) + P(H_2)\,P(A \mid H_2).

Здесь $H_1$ и $H_2$ — гипотезы, а $P(A \mid H_i)$ — вероятность события при каждой из них. Это формула полной вероятности.

Выделены ветви, дающие событие: складываются именно их вклады.

На дереве она читается прямо: перемножить вдоль каждой подходящей ветви и сложить по ветвям. Гипотез бывает и больше двух — слагаемых тогда столько же.

Проверка формулы простая: вероятности гипотез обязаны давать в сумме единицу.

P(H_1) + P(H_2) = 1.

Сначала гипотезы, потом событие внутри каждой.

Порядок разбора всегда один. Выписать гипотезы и убедиться, что они покрывают опыт целиком; найти вероятность события при каждой; перемножить по ветвям и сложить.

разбор линия 5ЕГЭ-2025, основная волна, Центр

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Дано

$P(H_1) = 0{,}02$

$P(A \mid H_1) = 0{,}99$

$P(A \mid H_2) = 0{,}01$

Найти

$P(A)$

Выделены ветви, на которых батарейка оказывается забракованной.

Гипотез две, и они покрывают весь выпуск: батарейка либо неисправна, либо исправна.

P(H_1) = 0{,}02, \quad P(H_2) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98.

Событие «забракована» случается на обеих ветвях, но с разной вероятностью:

P(A \mid H_1) = 0{,}99, \quad P(A \mid H_2) = 0{,}01.

Перемножим вдоль каждой ветви и сложим:

\begin{aligned} P(A) &= 0{,}02 \cdot 0{,}99 + 0{,}98 \cdot 0{,}01 \\ &= 0{,}0198 + 0{,}0098 = 0{,}0296. \end{aligned}

Второе слагаемое пропускают чаще всего: исправная батарейка тоже попадает в брак, и без этой ветви ответ вышел бы 0,0198.

Ответ: 0,0296

08формулировки

Хотя бы один, подряд, в любом порядке

Три оборота в условиях линии 5 стоят больше всего потерянных баллов. Выглядят они похоже, а считаются по-разному.

«Хотя бы один»

Оборот означает «один или больше» и никогда не означает «ровно один». Прямой подсчёт требует суммы по всем числам успехов, а противоположное событие — одного произведения:

P(\text{хотя бы один}) = 1 - q^n.

Буквой $q$ обозначена вероятность неудачи в одной попытке, буквой $n$ — число попыток. Запись верна, пока попытки независимы.

Вероятность успеха0,30Число попыток3

ни одного—ровно один—хотя бы один—

Увеличивай число попыток при малой вероятности успеха. «Хотя бы один» растёт куда быстрее, чем «ровно один», а считается всегда через «ни одного».

«Подряд» и «в любом порядке»

Когда условие называет порядок — «первые два попал, последние два промахнулся», — подходящая цепочка одна, и ответ равен произведению вероятностей шагов.

Когда порядок не назван — «ровно два попадания из четырёх», — цепочек несколько, и произведение умножается на их число:

P_n(k) = C_n^k\, p^k q^{\,n-k}.

Множитель $C_n^k$ — число способов выбрать номера удачных попыток, $k$ — их количество. Для двух попаданий из четырёх таких способов шесть.

назван порядок — одна цепочка; не назван — считаем цепочки

разбор линия 5ЕГЭ-2024, основная волна, Центр

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Дано

$\text{выстрелов } 4$

$p = 0{,}9$

Найти

$P$

Выделен единственный выстрел, который по условию попадает.

Выстрелы независимы, вероятность промаха противоположна вероятности попадания:

q = 1 - 0{,}9 = 0{,}1.

Условие называет порядок полностью: попадание в первую мишень и три промаха. Цепочка одна:

P = 0{,}9 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}0009.

Вопрос про «ровно одно попадание» дал бы другой ответ: таких цепочек четыре, и вероятность вышла бы $4 \cdot 0{,}0009 = 0{,}0036$ .

Ответ: 0,0009

09сводка

Формулы и типичные ошибки

Формул в теме восемь, и все они выведены выше. Трудность не в них, а в выборе: какая из формул отвечает на поставленный вопрос.

P(A) = \dfrac{m}{n}

классическая вероятность; исходы равновозможны

P(\bar A) = 1 - P(A)

противоположное событие

P(A + B) = P(A) + P(B)

сложение несовместных событий

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

сложение в общем случае

P(AB) = P(A)\,P(B \mid A)

умножение; у независимых P(A)·P(B)

P(A) = \sum_i P(H_i)\,P(A \mid H_i)

формула полной вероятности

P(\text{хотя бы один}) = 1 - q^{\,n}

n независимых попыток, q — неудача

P_n(k) = C_n^k\, p^k q^{\,n-k}

ровно k успехов из n, порядок не задан

Где теряют баллы

У суммы двух костей одиннадцать значений, значит у каждого вероятность 1/11.

Равновозможны 36 пар, а не 11 сумм: семёрку дают шесть пар, двойку — одна.

Вероятности двух событий всегда складываются.

Складываются только у несовместных; иначе вычитается вероятность совместного наступления.

Вероятности двух событий всегда перемножаются.

Произведение верно при независимости; иначе второй множитель — условная вероятность.

«Хотя бы один» — это то же самое, что «ровно один».

«Хотя бы один» значит «один или больше» и считается как 1 − qⁿ.

Порядок событий в условии на ответ не влияет.

Названный порядок даёт одну цепочку; без него число цепочек надо сосчитать.

В формуле полной вероятности достаточно главной гипотезы.

Складывают вклады всех гипотез: ошибочно забракованная деталь — тоже ветвь.

Получилось 1,2 — значит, событие очень вероятное.

Вероятность не выходит за отрезок от 0 до 1; такой ответ означает ошибку в подсчёте.

задачи

Проверь себя

Посчитай, впиши ответ и нажми «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Все задачи взяты из реальных вариантов ЕГЭ, и всё нужное для них собрано в трёх формулах.

P(A) = \frac{m}{n}, \quad P(\bar A) = 1 - P(A), \quad P(AB) = P(A)\,P(B).

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Логарифмы».

ЕГЭ-2024, основная волна, Сибирь и Центр

P =

Разбор

Решение

Билет достаётся случайно, поэтому все двадцать исходов равновозможны, а благоприятных одиннадцать:

P = \frac{11}{20} = 0{,}55.

Ответ: 0,55

На олимпиаде по русскому языку 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

ЕГЭ-2025, основная волна, Дальний Восток

P =

Разбор

Решение

Сначала найдём, сколько человек попало в запасную аудиторию:

m = 400 - 120 - 120 = 160.

Участника выбирают случайно из всех четырёхсот:

P = \frac{160}{400} = 0{,}4.

Ответ: 0,4

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

ЕГЭ-2025, основная волна, Сибирь

P =

Разбор

Решение

Всего участников

n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25.

Жребий не выделяет ни одного места: последним может оказаться любой из двадцати пяти, и все исходы равновозможны. Шведов девять:

P = \frac{9}{25} = 0{,}36.

Ответ: 0,36

В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

ЕГЭ-2023, основная волна, Сибирь и Урал

P =

Разбор

Решение

Фломастеров всего 25, и выбирают пару без учёта порядка. Всех пар

n = C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300.

Благоприятная пара складывается из одного синего и одного красного, поэтому способов

m = 8 \cdot 6 = 48.

Остаётся отношение:

P = \frac{48}{300} = 0{,}16.

Ответ: 0,16

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,6. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

ЕГЭ-2024, основная волна, Урал

P =

Разбор

Решение

Исправность одной батарейки — событие, противоположное браку:

P(\text{исправна}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4.

Батарейки в упаковке независимы, поэтому вероятности перемножаются:

P = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16.

Ответ: 0,16

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.

ЕГЭ-2024, досрочная волна, Москва

P =

Разбор

Решение

Событие «больше 8 задач» распадается на два несовместных: «ровно 9» и «больше 9». Поэтому вероятность «больше 8» равна их сумме:

P(>8) = P(=9) + P(>9).

Отсюда искомое слагаемое находится вычитанием:

P(=9) = 0{,}75 - 0{,}63 = 0{,}12.

Ответ: 0,12

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,5. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

ЕГЭ-2025, досрочная волна, Центр

P =

Разбор

Решение

Событие «хотя бы одна не перегорит» противоположно событию «перегорели обе». Лампы независимы, поэтому вероятность второго — произведение:

P(\text{обе перегорят}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25.

Остаётся вычесть найденное из единицы:

P = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.

Ответ: 0,75

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.

ЕГЭ-2025, основная волна, Сибирь

P =

Разбор

Решение

Сначала перейдём к противоположному событию для второго числа:

P(m \le 790) = 1 - 0{,}91 = 0{,}09.

Событие «масса меньше 810» складывается из двух несовместных: масса не больше 790 либо масса лежит между 790 и 810. Значит, искомая вероятность — разность:

P = 0{,}97 - 0{,}09 = 0{,}88.

Буквой $m$ обозначена масса буханки в граммах.

Ответ: 0,88

Вероятность — это доля исходов, и считать её начинают со списка исходов.

В Компендиуме разбираем темы ЕГЭ по математике так, чтобы за формулой был виден её вывод.

залетай в Академию→