Уравнения и отбор корней

Задача 12 состоит из двух пунктов: в пункте «а» надо решить уравнение, в пункте «б» — отобрать его корни на отрезке. Оба делаются на одной картинке, и если держать её в голове, формулы серий можно не заучивать. Они с неё считываются.

Картинка такая. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат, от точки $(1;\,0)$ отложен угол $x$ против часовой стрелки. Косинус — это абсцисса получившейся точки, синус — её ордината.

Отсюда сразу видно то, что в учебнике идёт отдельными свойствами. Обе координаты не выходят за единицу, значит $|\sin x| \le 1$ и $|\cos x| \le 1$. Сумма квадратов координат — это квадрат радиуса, то есть основное тождество. А полный оборот возвращает точку на место, поэтому у синуса и косинуса период $2\pi$.

Тангенс на этой картинке тоже есть, только живёт он не на окружности, а на касательной $x = 1$. Продли радиус до неё, и высота точки пересечения будет равна $\operatorname{tg} x$. Поэтому у тангенса нет верхней границы, а при $x = \tfrac{\pi}{2}$ его нет вовсе. Радиус в этот момент параллелен касательной и не встречает её.

Главное свойство этой конструкции — углов у одной точки бесконечно много. Доехать до неё можно, добавив любое число полных оборотов, и значения синуса с косинусом от этого не изменятся. Поэтому уравнение с синусом или косинусом никогда не имеет одного корня. Корней всегда бесконечная серия.

Простейшее уравнение — это $\sin x = a$, $\cos x = a$ или $\operatorname{tg} x = a$. К одному из трёх сводится любое уравнение задачи 12, поэтому с ними стоит разобраться до конца.

На окружности каждое из них — это прямая. Синус равен $a$ у точек с ординатой $a$, то есть на горизонтали $y = a$. Косинус — на вертикали $x = a$. Корни уравнения — точки, где прямая встречает окружность.

При $|a| > 1$ прямая проходит мимо окружности, и корней нет совсем. При $|a| < 1$ пересечений ровно два на каждый оборот, поэтому в ответе две серии. При $|a| = 1$ прямая касается окружности, и две серии сливаются в одну.

У тангенса всё иначе. Прямая проходит через центр, пересекает окружность в двух противоположных точках, но эти точки отличаются ровно на $\pi$. Поэтому серия у тангенса одна, а период вдвое короче.

Арксинус, арккосинус и арктангенс — это и есть «тот самый угол, с которого начинается серия». Арксинус и арктангенс берут угол из правой половины окружности, от $-\tfrac{\pi}{2}$ до $\tfrac{\pi}{2}$, арккосинус — из верхней, от $0$ до $\pi$. Для табличных значений это просто числа: $\arccos\tfrac{1}{2} = \tfrac{\pi}{3}$, $\arcsin\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\pi}{4}$.

Серия — это запись вида «начало плюс период, умноженный на целое число». Начало берётся с окружности, период равен $2\pi$ у синуса и косинуса и $\pi$ у тангенса. Буква $n$ пробегает все целые числа, и писать $n \in \mathbb{Z}$ обязательно: без этого запись не считается ответом.

У синуса две равноправные записи. Объединённая экономит строку, раздельная удобнее в пункте «б», потому что каждую серию можно отбирать отдельно.

Эти записи задают одно и то же множество. В объединённой чётные $k$ дают первую серию, нечётные — вторую. Минус единица в чётной степени оставляет угол на месте, а в нечётной отражает его относительно вертикали.

У косинуса объединить серии проще, потому что точки симметричны относительно горизонтальной оси, и $\pm$ описывает обе сразу.

Шесть случаев стоит знать наизусть. В них прямая либо касается окружности, либо проходит через её центр, и общая формула даёт верный, но громоздкий ответ.

Периодом пользуются при отборе. Если период равен $2\pi$, на любом отрезке длиной $2\pi$ лежит ровно один корень серии. Если период $\pi$ — ровно два. Так проще всего заметить потерянный корень в пункте «б». Сосчитай длину отрезка в периодах и сравни с числом выписанных корней.

В пункте «а» уравнение почти никогда не бывает простейшим сразу. Его приводят к простейшему четырьмя приёмами, и выбор между ними определяется тем, что стоит в уравнении.

Вынести общий множитель

Если в каждом слагаемом есть общий синус или косинус, уравнение раскладывается на множители. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Получается два простейших уравнения вместо одного сложного.

Сделать замену

Если во всём уравнении встречается одна и та же функция, она заменяется буквой, и остаётся квадратное уравнение. После замены сразу проверяют границы. Синус и косинус не выходят за единицу, поэтому корень $t = 2$ отбрасывается, не доходя до окружности.

Разделить однородное уравнение

В однородном уравнении у всех слагаемых одинаковая степень синусов и косинусов. Такое уравнение делят на старшую степень косинуса и получают уравнение с тангенсом. Делить можно потому, что $\cos x = 0$ корнем быть не может. Иначе из уравнения следовало бы и $\sin x = 0$, а вместе они в ноль не обращаются.

Понизить степень или свернуть двойной угол

Квадраты убираются формулами понижения степени, а разные аргументы сводятся к одному формулами двойного угла. Цель всегда одна. В уравнении должны остаться один аргумент и одна функция.

Область допустимых значений

ОДЗ в задаче 12 чаще всего приносит дробь, тангенс или логарифм. За корень, который нарушает ОДЗ и всё равно попал в ответ, балл снимают. Запиши ограничение до того, как начнёшь решать, и лишняя серия отсеется сама.

Ограничение снимается на той же окружности. Выкалываешь запрещённые точки и смотришь, какие корни на них попали. Если серия корней совпала с выколотой точкой целиком, она уходит из ответа вся.

Пункт «б» просит не все корни, а те, что лежат на указанном отрезке. Серия бесконечна, отрезок конечен, значит из серии нужно выбрать несколько чисел, обычно от одного до четырёх. Способов три, и дают они один и тот же ответ.

Возьмём уравнение $\cos x = \tfrac{1}{2}$. Его корни — две серии: $x = \pm\tfrac{\pi}{3} + 2\pi n$. Дальше смотри на обе картинки сразу. Отрезок — это дуга на окружности и отрезок на прямой, а корни на них одни и те же.

Способ первый: окружность

Отметь на окружности корни одного оборота и закрась дугу, отвечающую отрезку. Если отрезок длиннее $2\pi$, дуга замыкается, и каждая отмеченная точка даёт корень не один раз. Способ быстрый, но требует аккуратности с длинными отрезками. Именно на них его и ломают.

Способ второй: двойное неравенство

Надёжный способ и единственный, который не зависит от аккуратности рисунка. Подставь серию в условие «корень лежит на отрезке» и реши неравенство относительно $n$.

Целых $n$ в этих границах нет, значит первая серия на отрезке $\left[\tfrac{\pi}{2};\, 2\pi\right]$ корней не даёт. Вторую серию проверяют так же, и для неё $n = 1$ проходит и даёт корень $\tfrac{5\pi}{3}$.

Способ третий: перебор

Выпиши подряд корни серии при $n = -1,\ 0,\ 1,\ 2$ и посмотри, какие попали в отрезок. На коротком отрезке это быстрее любого неравенства. Главное — не останавливаться на первом подходящем корне. Следующий может тоже оказаться внутри.

Какой бы способ ты ни выбрал, ответ пункта «б» — это список конкретных чисел. Буквы $n$ в нём уже нет.

Задача 12 стоит два балла: один за пункт «а», один за «б». Балл за «а» ставят за полный набор серий с обоснованными переходами, балл за «б» — только если отобраны все корни и ни одного лишнего. Поэтому пункт «б» нельзя писать «на глаз». Один пропущенный корень стоит столько же, сколько нерешённое уравнение.

Во второй задаче уравнение раскладывается на множители, и серий становится три. Отрезок здесь длиннее $2\pi$, поэтому часть серий даст по два корня. Это обычное место, где теряют баллы.

Если в уравнении есть дробь, тангенс или корень, перед пунктом «а» записывается ОДЗ, а в пункте «б» запрещённые точки выкалываются на той же окружности. Серия, целиком попавшая в выколотую точку, уходит из ответа вся. Об этом в решении нужно написать прямо, иначе эксперт посчитает это потерей корней.

Формул в теме много, но для задачи 12 хватает восьми. Три первые дают серии корней, две следующие — частные случаи, которые встречаются чаще остальных, а последние три нужны, чтобы довести уравнение до простейшего.

Где теряют баллы

Почти все потери в этой задаче одинаковые: либо потерянная серия в пункте «а», либо пропущенный корень в пункте «б».

Пять коротких задач на то, что чаще всего и спрашивают: серия корней, её период и отбор на отрезке. Впиши ответ или выбери вариант и нажми «Проверить», разбор открывается кнопкой под задачей.