Двойное отношение и проективные преобразования

Возьмём две прямые и точку $S$, не лежащую ни на одной из них. Каждой точке первой прямой сопоставим точку второй: проведём через $S$ прямую и отметим, где она пересекает вторую. Это центральная проекция.

Длины она не сохраняет. Не сохраняет и отношения длин: отметим на первой прямой три точки $A$, $B$, $C$ и посмотрим на отношение

После проекции оно, вообще говоря, другое. Параллельная проекция — та, где все прямые проведены в одном направлении, — отношение сохраняет: там работают подобные треугольники. У центральной проекции подобия нет.

Верхняя пара чисел под чертежом расходится при движении центра, нижняя — нет. Нижняя величина составлена из двух простых отношений так, что зависимость от центра сокращается; ей и посвящена статья.

На чертеже виден и особый случай: луч из $S$ может оказаться параллелен второй прямой, и тогда образа у точки нет. Для этого случая к прямой в пятом разделе добавляется ещё одна точка.

Пусть на прямой отмечены четыре точки. Выберем на прямой направление и будем считать отрезки направленными: $\overline{AC}$ положительно, если от $A$ к $C$ идём по направлению, и отрицательно иначе.

Запись читается так: пара $C$, $D$ рассматривается относительно пары $A$, $B$. Первый множитель говорит, в каком отношении $C$ делит $AB$, второй — в каком отношении делит $D$, и одно делится на другое.

Если ввести на прямой координату и обозначить положения точек через $a$, $b$, $c$, $d$, определение превращается в формулу, которой удобно считать:

От выбора направления значение не зависит: при смене направления все четыре разности меняют знак, а их комбинация — нет. От выбора начала координат тоже: в формулу входят только разности.

Знак говорит о взаимном расположении. Значение отрицательно ровно тогда, когда пара $C$, $D$ разделяет пару $A$, $B$: одна из точек лежит между $A$ и $B$, а другая — вне отрезка.

Перестановки точек меняют значение, но предсказуемо. Если поменять местами точки внутри одной пары, значение переходит в обратное; если поменять пары местами, оно не меняется вовсе; если переставить $B$ и $C$, получается $1-\lambda$. Из этих трёх правил получаются все двадцать четыре перестановки, а различных значений среди них не больше шести.

Возьмём центр проекции $S$ и четыре точки на прямой. Доказательство держится на одном наблюдении: отношение отрезков на прямой равно отношению площадей треугольников с вершиной в $S$.

Треугольники $SAC$ и $SCB$ имеют общую высоту, опущенную из $S$ на прямую, поэтому

Ту же площадь можно записать через две стороны и синус угла между ними:

Отрезок $SC$ сокращается, и остаётся

Точно так же для второй пары:

Перемножим. Расстояния $SA$ и $SB$ сокращаются:

Правая часть зависит только от четырёх лучей, выходящих из $S$, и не зависит от того, какой прямой они пересечены. Если пересечь тот же пучок другой прямой, все четыре угла останутся прежними, и двойное отношение получится то же самое.

Простое отношение $AC/CB$ зависит от расстояний $SA$ и $SB$, а они при переходе на другую прямую меняются. В двойном отношении они входят дважды и в противоположных степенях, поэтому исчезают.

Из формулы предыдущего раздела следует, что величину можно приписать не четырём точкам, а четырём прямым, проходящим через одну точку. Такой набор называют пучком, а саму точку — центром пучка.

Двойное отношение пучка определяется той же формулой:

Пересечём пучок любой прямой, не проходящей через центр. Получатся четыре точки, и их двойное отношение совпадёт с двойным отношением пучка. Другая секущая даст другие четыре точки и то же число.

Отсюда приём переноса. Пусть на чертеже есть четыре точки на одной прямой и ещё какая-то точка, из которой они видны. Тогда их двойное отношение можно перенести на любую другую прямую: спроектировать из этой точки и работать там.

Решение проективной задачи — цепочка таких переносов. Каждый шаг — «спроектируем из такой-то точки на такую-то прямую», и на каждом шаге одно число остаётся неизменным. В конце цепочки его приравнивают к тому, что получилось в начале.

Вырожденный случай: если центр пучка лежит на секущей, все четыре точки сливаются в одну. Поэтому в формулировках оговаривают, что секущая через центр не проходит.

Посмотрим, что происходит с двойным отношением, когда одна из точек уходит по прямой всё дальше. Пусть уходит $D$, то есть $d\to\infty$. В формуле

множители с $d$ стоят в числителе и в знаменателе по одному разу, и при больших $d$ их отношение стремится к $-1$. Остаётся

Справа стоит простое отношение, в котором $C$ делит прямую $AB$, записанное направленными отрезками: для точки внутри отрезка оно отрицательно, для точки снаружи положительно. Двойное отношение обобщает простое, а простое получается из него при бесконечно удалённой четвёртой точке.

Это объясняет наблюдение из первого раздела. Параллельная проекция сохраняет простое отношение, потому что оставляет бесконечно удалённую точку на месте; центральная проекция её сдвигает, и простое отношение перестаёт быть инвариантом.

Бесконечно удалённая точка

Добавим к каждой прямой по одной бесконечно удалённой точке — одной на оба направления, — а к плоскости — прямую, состоящую из всех таких точек. Тогда центральная проекция становится взаимно однозначной: та точка первой прямой, чей луч параллелен второй, переходит в бесконечно удалённую точку второй, а бесконечно удалённая точка первой — в обычную точку второй.

Двойное отношение продолжается на этот случай предельными значениями. Формулы работают как раньше, а разбор случаев «пересекаются или параллельны» из решений исчезает.

Проективное преобразование

Если проектировать не прямую на прямую, а плоскость на плоскость из точки в пространстве, получится преобразование плоскости, которое переводит прямые в прямые и сохраняет двойное отношение любой четвёрки точек на прямой. Такие преобразования называют проективными.

Основное свойство: любую прямую можно перевести в бесконечно удалённую. Достаточно расположить плоскости так, чтобы плоскость, проходящая через центр проекции параллельно второй плоскости, пересекала первую по нужной прямой. Всё, что лежало на этой прямой, уходит в бесконечность, а все прямые, проходившие через её точки, становятся параллельными. Этим доказывается теорема Паппа в седьмом разделе.

Четвёрку называют гармонической, если

Знак минус означает, что точки $C$ и $D$ разделяют $A$ и $B$: одна лежит внутри отрезка, другая снаружи. Модуль, равный единице, означает, что делят они его в одном и том же отношении — одна внутренним образом, другая внешним.

Название объясняется записью условия в координатах с началом в $A$:

то есть $AB$ — среднее гармоническое отрезков $AC$ и $AD$, взятых со знаками. Проверка подстановкой: $AC=2$, $AD=-6$, $AB=6$ дают $1/2-1/6=1/3$.

Частный случай: $C$ — середина отрезка $AB$. Тогда $AC/CB=1$, и для выполнения условия нужно $DB/AD=-1$, а это возможно только в пределе: точка $D$ уходит в бесконечность.

Середина отрезка и бесконечно удалённая точка гармонически сопряжены относительно его концов. В проективных решениях середина отрезка обычно и появляется в этой роли.

Четвёртая точка по трём заданным восстанавливается однозначно: из условия $-1$ получается линейное уравнение. Построить её можно одной линейкой, через полный четырёхсторонник; это построение разбирается в следующей статье серии.

Пусть на одной прямой отмечены точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, а на другой — $B_1$, $B_2$, $B_3$. Проведём шесть соединяющих прямых и найдём три точки:

Эти три точки лежат на одной прямой.

Доказательство. Применим проективное преобразование, которое переводит прямую $XY$ в бесконечно удалённую. Утверждение при этом сохраняется: проективное преобразование переводит прямые в прямые, а точки пересечения — в точки пересечения. Достаточно доказать теорему в новом положении.

В новом положении точка $X$ бесконечно удалена, то есть прямые $A_1B_2$ и $A_2B_1$ параллельны. Так же параллельны $A_1B_3$ и $A_3B_1$. Требуется доказать, что тогда параллельны и $A_2B_3$ с $A_3B_2$.

Обозначим через $O$ точку пересечения двух исходных прямых. Прямые $A_1B_2$ и $A_2B_1$ соединяют точки на разных лучах, поэтому они параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны стороны, прилежащие к общему углу при $O$:

Вторая пара параллельных прямых даёт такое же равенство с третьими точками:

Значит, совпадают произведения для второй и третьей пары:

а это условие параллельности $A_2B_3$ и $A_3B_2$.

Приём общий: подходящим проективным преобразованием одну прямую чертежа переводят в бесконечно удалённую, и все прямые, проходившие через её точки, становятся параллельными. Задача про пересечения превращается в задачу про параллельность, которая решается подобием.

Возьмём четыре точки на окружности и пятую точку $X$ на ней же. Из $X$ четыре точки видны как четыре луча, то есть образуют пучок, и у пучка есть двойное отношение. Оно не зависит от того, где стоит $X$.

Доказательство — теорема о вписанном угле из первой статьи серии. Угол $\angle AXC$ опирается на дугу $AC$ и потому не меняется, пока $X$ ходит по своей дуге; при переходе на другую дугу он заменяется дополнительным, с тем же синусом. То же верно для всех четырёх углов в формуле пучка:

Все синусы постоянны, значит, постоянно и всё выражение. Поэтому величину приписывают не пучку, а самой четвёрке точек на окружности.

Через длины хорд

Хорда равна $2R\sin$ вписанного угла, опирающегося на неё. Подставим это в формулу — множители $2R$ сократятся, и получится выражение через длины:

Знак определяется расположением: если пары разделяют друг друга, значение отрицательно, иначе положительно. Под чертежом оба способа счёта дают одно число.

Выражение через хорды встречалось в четвёртой статье: в левой части неравенства Птолемея стоит $AC\cdot BD$, а в правой — два слагаемых, из которых составлен знаменатель. Равенство $(A,B;C,D)=-1$ для четырёх точек окружности равносильно $AC\cdot BD=CB\cdot AD$, то есть равенству двух слагаемых в правой части.

Рассмотрим три задачи с реальных олимпиад, где решение — цепочка проекций, сохраняющих двойное отношение. Запись $(A,B;C,D)\overset{S}{=}(A',B';C',D')$ означает проекцию из точки $S$.

Понадобятся два факта о касательных и об окружности.

Проекция из $X$ переводит прямую $AB$ на окружность, $P\to X$ (касательная), $Q\to Y$; проекция из $Y$ возвращает на прямую, $X\to Q$, $Y\to P$:

откуда $(A,B;P,Q)^2=1$, а значение $1$ невозможно при различных точках. Заодно $(A,B;X,Y)_\omega=-1$: четырёхугольник $AXBY$ гармонический.

В формуле пучка с $\angle(x,y)=90^\circ$ синусы углов с $y$ превращаются в косинусы углов с $x$, и условие $-1$ даёт $\operatorname{tg}\angle(x,a)=-\operatorname{tg}\angle(x,b)$, то есть $x$ делит угол между $a$ и $b$ пополам.

Посчитай, впиши ответ и нажми «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Всё нужное для решения собрано в трёх формулах.