Степень точки и радикальная ось

01окружность

Произведение отрезков секущей

Возьмём окружность с центром $O$ и радиусом $R$ и точку $P$ вне её. Проведём через $P$ прямую, пересекающую окружность в точках $A$ и $B$ . Покажем, что произведение $PA\cdot PB$ не зависит от выбора прямой.

Пусть $M$ — середина хорды $AB$ . Отрезок $OM$ , соединяющий центр с серединой хорды, перпендикулярен ей. Точки $A$ и $B$ отстоят от $M$ на одно расстояние $MA$ , а $P$ лежит на той же прямой вне отрезка $AB$ , поэтому

PA=PM-MA,\qquad PB=PM+MA,

и произведение равно разности квадратов:

PA\cdot PB=PM^2-MA^2.

$—$ $—$ $—$ $—$

Голубой треугольник — OMP, оранжевый — OMA, оба прямоугольные при M . Произведение PA \cdot PB равно PM² - MA² и совпадает с d² - R² .

Оба квадрата выражаются через $d=PO$ . Треугольник $OMP$ прямоугольный с прямым углом при $M$ , поэтому $PM^2=d^2-OM^2$ . Треугольник $OMA$ тоже прямоугольный, его гипотенуза — радиус: $MA^2=R^2-OM^2$ . Подставим:

PA\cdot PB=(d^2-OM^2)-(R^2-OM^2)=d^2-R^2.

Длина $OM$ сократилась. От выбора прямой зависела только она, а в правой части остались $d$ и $R$ . Значит, для любой другой секущей через $P$ произведение то же:

PA\cdot PB=PC\cdot PD.

$—$ $—$ $—$

Поворачивай секущие — произведения не меняются. Заведи P внутрь круга: величина d² - R² становится отрицательной.

02знак

Точка внутри окружности

Пусть теперь $P$ лежит внутри круга. Проведём через $P$ хорду $AB$ и снова выразим $PA\cdot PB$ через $d$ и $R$ .

Счёт тот же. $M$ — середина хорды, $OM\perp AB$ , но $P$ теперь лежит между $A$ и $B$ , поэтому

PA=MA-PM,\qquad PB=MA+PM,

и

PA\cdot PB=MA^2-PM^2=(R^2-OM^2)-(d^2-OM^2)=R^2-d^2.

$—$ $—$ $—$ $—$

Голубой треугольник — OMP, оранжевый — OMA, оба прямоугольные. Произведение PA \cdot PB равно MA² - PM² и совпадает с R² - d² .

Ответ снова выражается через $d^2-R^2$ , но с противоположным знаком: снаружи произведение равно $d^2-R^2$ , внутри — $R^2-d^2$ .

Различие исчезает, если считать отрезки направленными. Выберем на прямой направление и будем писать $\overline{PA}$ со знаком: плюс, если от $P$ к $A$ идём по направлению прямой, минус, если против. Для внешней точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от $P$ , знаки совпадают, и произведение положительно. Для внутренней они по разные стороны, знаки разные, и произведение отрицательно. В обоих случаях

\overline{PA}\cdot\overline{PB}=d^2-R^2.

направление прямой выбираем как угодно: при его смене оба знака меняются разом, а произведение остаётся

Для точки на окружности выражение равно нулю: одна из точек $A$ , $B$ совпадает с $P$ , и один из отрезков нулевой.

03определение

Степень точки через расстояние

У получившейся величины есть своё название. Степенью точки $P$ относительно окружности с центром $O$ и радиусом $R$ называют число

$\mathrm{pow}(P)=d^{2}-R^{2}$

где $d=PO$ . Снаружи она положительна, внутри отрицательна, на окружности равна нулю.

радиус первой120

Разность двух полей обращается в ноль вдоль прямой. Двигай радиусы — прямая едет, но остаётся перпендикулярной линии центров.

В определении секущих нет. Секущая — один из способов вычислить степень; есть и другие.

Проще всего — через касательную. Будем поворачивать секущую из внешней точки, пока $A$ и $B$ не сольются в точку касания $T$ . Произведение $PA\cdot PB$ перейдёт в $PT^2$ , поэтому

PT^2=d^2-R^2=\mathrm{pow}(P).

То же даёт теорема Пифагора для треугольника $OTP$ . Радиус $OT$ перпендикулярен касательной, угол при $T$ прямой, гипотенуза $OP=d$ , катет $OT=R$ :

PT^2=OP^2-OT^2=d^2-R^2.

$—$ $—$ $—$

Угол при T прямой, гипотенуза OP = d, катет OT = R . Двигай P : квадрат касательной равен d² - R² .

Для внутренней точки касательной нет, и степень отрицательна.

Если записать окружность уравнением $x^2+y^2+ax+by+c=0$ , то степень точки — левая часть, в которую подставлены координаты точки: раскрытие скобок в $(x-x_O)^2+(y-y_O)^2-R^2$ даёт именно такой многочлен. Степень определена во всех точках плоскости, а окружность — множество точек, где она равна нулю.

04радикальная ось

Где две степени равны

Возьмём две окружности и найдём точки $X$ , у которых степени относительно обеих равны:

XO_1^{\,2}-R_1^2=XO_2^{\,2}-R_2^2.

В координатах слева и справа стоят многочлены второй степени с одинаковыми старшими членами $x^2+y^2$ . После переноса в одну сторону они сокращаются, и остаётся уравнение первой степени:

2(x_{O_2}-x_{O_1})\,x+2(y_{O_2}-y_{O_1})\,y=\bigl(x_{O_2}^2+y_{O_2}^2-R_2^2\bigr)-\bigl(x_{O_1}^2+y_{O_1}^2-R_1^2\bigr).

Это уравнение прямой. Её называют радикальной осью двух окружностей. Коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны координатам вектора $O_1O_2$ , поэтому ось перпендикулярна линии центров.

радикальная ось перпендикулярна линии центров

Найдём, где ось пересекает линию центров. Пусть $d$ — расстояние между центрами, а $x$ — расстояние от $O_1$ до точки пересечения. Приравняем степени этой точки:

x^2-R_1^2=(d-x)^2-R_2^2\ \Longrightarrow\ x=\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}.

радиус первой110радиус второй80

$—$ $—$ $—$ $—$

Ось перпендикулярна линии центров и пересекает её в точке F . Для любой точки X на оси степени равны, а касательные к обеим окружностям — одной длины.

Положение оси зависит от расположения окружностей. Если они пересекаются, ось проходит через обе точки пересечения: в них обе степени равны нулю. Если окружности касаются, ось — общая касательная в точке касания. Если общих точек нет, ось существует, но её приходится строить.

Последний случай — основной. С осью непересекающихся окружностей работают так же, как с общей хордой пересекающихся.

05радикальный центр

Три окружности и одна точка

Возьмём три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. У каждой пары есть своя радикальная ось — всего три прямые. Они пересекаются в одной точке.

Доказательство короткое. Пусть $X$ — точка пересечения первых двух осей. На первой оси $\mathrm{pow}_1(X)=\mathrm{pow}_2(X)$ , на второй $\mathrm{pow}_2(X)=\mathrm{pow}_3(X)$ . Значит,

\mathrm{pow}_1(X)=\mathrm{pow}_3(X),

а это условие того, что $X$ лежит и на третьей оси. Точку $X$ называют радикальным центром трёх окружностей.

Если центры лежат на одной прямой, все три оси ей перпендикулярны и параллельны между собой. Общей точки тогда нет; это единственное исключение.

радиус первой110радиус второй90радиус третьей130

$—$ $—$ $—$

Три касательные из отмеченной точки равны между собой — это одна и та же степень. Поставь центры на одну прямую — точка уходит, и оси становятся параллельными.

Применения

Во-первых, так строят радикальную ось двух непересекающихся окружностей. Проведём любую третью окружность, пересекающую обе. Её оси с первой и со второй — общие хорды, они видны на чертеже. Точка пересечения хорд лежит на искомой оси. Вторая вспомогательная окружность даёт вторую точку, а через две точки проводится прямая.

Во-вторых, радикальный центр даёт признак того, что три прямые пересекаются в одной точке. Если каждая из трёх прямых — общая хорда какой-то пары из трёх окружностей, то все три прямые — радикальные оси, и они проходят через радикальный центр.

В-третьих, если радикальный центр лежит вне всех трёх окружностей, касательные из него к трём окружностям равны: их длины — корень из одной и той же степени. Окружность с центром в этой точке и таким радиусом пересекает все три окружности под прямым углом.

06пучки

Семейство с общей осью

Зафиксируем прямую и соберём все окружности, для которых она служит радикальной осью. Такое семейство называют коаксиальным пучком. Центры всех его окружностей лежат на одном перпендикуляре к оси: ось перпендикулярна линии центров любой пары.

Пусть ось вертикальна, а линия центров горизонтальна. Окружность с центром на расстоянии $t$ от оси принадлежит пучку, если её степень в точках оси не зависит от $t$ . Запишем степень точки оси, отстоящей от линии центров на $h$ :

\mathrm{pow}=t^2+h^2-R^2=\text{const}\ \Longrightarrow\ R^2=t^2-k,

где $k$ — одно и то же число для всего пучка. Вид пучка зависит от знака $k$ .

центр вдоль линии-140

$—$ $—$

Ось у всего семейства одна. Во втором режиме радиус обращается в ноль — окружность сжимается в предельную точку.

При $k<0$ радиус определён для любого $t$ ; при $t=0$ получается окружность с центром на оси. Все окружности пучка проходят через две общие точки — они лежат на оси на расстоянии $\sqrt{-k}$ от линии центров.

При $k>0$ радиус существует только при $t^2\ge k$ . Общих точек у окружностей нет, а при $t^2=k$ радиус обращается в ноль. Две такие точки называют предельными точками пучка: это окружности нулевого радиуса.

Оба вида пучка переходят друг в друга при инверсии, которая разбирается в четвёртой статье серии. Инверсия с центром в предельной точке переводит пучок в семейство концентрических окружностей.

07техника

Применение в задачах

Степень точки применяется в задачах тремя способами: как признак того, что четыре точки лежат на одной окружности, как способ вычислить длину отрезка и как радикальная ось, которую можно провести на любом чертеже с двумя окружностями.

Признак четырёх точек

Равенство $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ верно и в обратную сторону. Если прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ , а произведения направленных отрезков совпадают, то $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на одной окружности. Доказательство от противного: окружность через $A$ , $B$ , $C$ пересекает прямую $CD$ вторично в единственной точке, и её положение определяется произведением однозначно.

$—$ $—$

Точка D взята на прямой PC так, что PC \cdot PD = PA \cdot PB (со знаком). Окружность через A, B, C проходит через D; заведи P внутрь — равенство работает и там.

Это второй признак того, что четыре точки лежат на одной окружности, после равенства углов из первой статьи серии. Признак выбирают по данным условия: если даны отрезки — степень точки, если углы — ориентированные углы.

Длина касательной

Из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая. Если известны два отрезка секущей, длина касательной равна

PT=\sqrt{PA\cdot PB}.

Так же считается общая касательная двух окружностей. Для внешней касательной перенесём её параллельно на меньший радиус: получится прямоугольный треугольник с катетом $L$ и гипотенузой $d$ , откуда $L=\sqrt{d^2-(R-r)^2}$ .

Радикальная ось на чертеже

Если в условии есть две окружности, у них есть радикальная ось. Часто прямая, о которой спрашивают в задаче, — общая хорда, общая касательная, прямая через три данные точки — совпадает с ней. Чтобы это проверить, достаточно сравнить степени.

08олимпиады

Задачи на радикальную ось

Рассмотрим две задачи с реальных олимпиад, где прямая из условия оказывается радикальной осью, и это сразу даёт решение.

1

IMO 1995, задача 1

Точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ лежат на прямой в этом порядке. Окружности с диаметрами $AC$ и $BD$ пересекаются в точках $X$ и $Y$ . Прямая $XY$ пересекает $BC$ в точке $Z$ . Пусть $P$ — точка на прямой $XY$ , отличная от $Z$ . Прямая $CP$ вторично пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $M$ , прямая $BP$ вторично пересекает окружность с диаметром $BD$ в точке $N$ . Докажите, что прямые $AM$ , $DN$ и $XY$ проходят через одну точку.

точка P на прямой XY65

$—$

Красная прямая XY — радикальная ось двух окружностей. Голубая AM и фиолетовая DN пересекаются в точке Q на ней при любом положении P .

Решение

Пусть $Q=AM\cap XY$ . Угол $AMC$ опирается на диаметр, поэтому $AM\perp CP$ ; прямая $XY$ — радикальная ось, она перпендикулярна линии центров $AD$ . В треугольнике $ACP$ прямые $AM$ и $PZ$ — высоты, значит, $Q$ — его ортоцентр.

Прямоугольные треугольники $AZQ$ и $PZC$ подобны: у обоих $\angle ZAQ=\angle ZPC=90^\circ-\angle ACP$ . Отсюда

\frac{ZA}{ZP}=\frac{ZQ}{ZC}\ \Longrightarrow\ ZQ\cdot ZP=ZA\cdot ZC.

Точка $Z$ лежит на хорде $XY$ первой окружности и на её диаметре $AC$ , поэтому $ZA\cdot ZC=ZX\cdot ZY$ . Для второй окружности так же $ZB\cdot ZD=ZX\cdot ZY$ .

Пусть $Q'=DN\cap XY$ . Так же $Q'$ — ортоцентр треугольника $BDP$ , и $ZQ'\cdot ZP=ZB\cdot ZD$ . Получаем

ZQ\cdot ZP=ZA\cdot ZC=ZX\cdot ZY=ZB\cdot ZD=ZQ'\cdot ZP,

то есть $ZQ=ZQ'$ . Оба ортоцентра лежат на прямой $XY$ по одну сторону от $Z$ (в направленных отрезках все четыре произведения имеют одинаковый знак), поэтому $Q=Q'$ , и три прямые проходят через эту точку.

2

IMO 2000, задача 1

Две окружности $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ пересекаются в точках $M$ и $N$ . Пусть $AB$ — общая касательная, причём $A\in\Gamma_1$ , $B\in\Gamma_2$ и $M$ ближе к $AB$ , чем $N$ . Прямая через $M$ , параллельная $AB$ , вторично пересекает $\Gamma_1$ в $C$ и $\Gamma_2$ в $D$ . Прямые $CA$ и $DB$ пересекаются в $E$ , прямые $AN$ и $CD$ — в $P$ , прямые $BN$ и $CD$ — в $Q$ . Докажите, что $EP=EQ$ .

$—$

Оранжевая прямая — общая касательная AB, прямая CD ей параллельна и проходит через M . Пунктир MN — радикальная ось; она делит пополам и AB, и PQ .

Решение

Прямая $MN$ — радикальная ось окружностей. Пусть она пересекает $AB$ в точке $K$ . Касательная из $K$ равна корню из степени, а степени $K$ относительно обеих окружностей равны:

KA^2=KM\cdot KN=KB^2\ \Longrightarrow\ KA=KB.

Точки $P$ , $Q$ , $M$ лежат на прямых $NA$ , $NB$ , $NK$ и на прямой $CD\parallel AB$ . Гомотетия с центром $N$ переводит $A$ , $B$ , $K$ в $P$ , $Q$ , $M$ , поэтому $M$ — середина $PQ$ .

Теперь покажем, что $EM\perp AB$ . Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду: $\angle BAM=\angle ACM$ . Углы $\angle ACM$ и $\angle EAB$ — соответственные при параллельных $CD$ и $AB$ и секущей $CA$ , поэтому $\angle EAB=\angle BAM$ : прямая $AB$ — биссектриса угла $EAM$ . Так же $AB$ — биссектриса угла $EBM$ .

Отражение относительно $AB$ переводит луч $AE$ в луч $AM$ и луч $BE$ в луч $BM$ , значит, точку $E$ — в точку $M$ . Отрезок $EM$ перпендикулярен $AB$ , а потому и $PQ$ . В треугольнике $EPQ$ прямая $EM$ — медиана и высота, поэтому $EP=EQ$ .

09задачи

Проверь себя

Посчитай, впиши ответ и нажми «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Всё нужное для решения собрано в трёх формулах.

\begin{gathered} \mathrm{pow}(P)=d^2-R^2 \\[8pt] PA\cdot PB=|\mathrm{pow}(P)| \\[8pt] x=\frac{d^2+R_1^2-R_2^2}{2d}. \end{gathered}

1

Из точки

P

проведены секущая и касательная. Секущая пересекает окружность в точках

A

и

B

, причём

PA=2

,

PB=8

. Найди длину касательной

PT

.

PT =

Разбор

Решение

Степень точки измеряется любой секущей, а касательная даёт её же в виде квадрата.

PT^2=PA\cdot PB=2\cdot8=16,\qquad PT=4.

Ответ:

PT = 4

2

Две хорды пересекаются внутри окружности. Первая делится точкой пересечения на отрезки

3

и

6

, у второй один из отрезков равен

2

. Найди второй.

x =

Разбор

Решение

Для внутренней точки произведения отрезков обеих хорд равны между собой.

3\cdot6=2\cdot x\ \Longrightarrow\ x=9.

Ответ:

9

3

Точка удалена от центра окружности на

13

, радиус равен

5

. Найди степень точки.

\mathrm{pow} =

Разбор

Решение

\mathrm{pow}=d^2-R^2=169-25=144.

Заодно это квадрат длины касательной: она равна $12$ .

Ответ:

144

4

Радиусы двух окружностей равны

3

и

4

, расстояние между центрами равно

5

. На каком расстоянии от центра первой проходит радикальная ось?

x =

Разбор

Решение

Приравняем степени точки, лежащей на линии центров в $x$ от первого центра:

x^2-9=(5-x)^2-16.

Квадраты сокращаются, остаётся линейное уравнение:

-9=9-10x\ \Longrightarrow\ x=1{,}8.

Окружности пересекаются, поэтому ось проходит через обе точки пересечения — проверить можно построением.

Ответ:

1{,}8

5

Чем является множество точек, степени которых относительно двух непересекающихся окружностей равны?

Разбор

Решение

Разность степеней — линейная функция координат, поэтому множество нулей у неё прямая. Коэффициенты пропорциональны вектору между центрами, значит прямая ему перпендикулярна. Пересекаются окружности или нет, на это не влияет.

Ответ:

прямая, перпендикулярная линии центров

6

Радиусы двух окружностей равны

4

и

9

, расстояние между центрами равно

13

. Найди длину их общей внешней касательной.

L =

Разбор

Решение

Опустим из центра меньшей окружности перпендикуляр на радиус большей, проведённый в точку касания. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$ и катетом $R-r$ :

L=\sqrt{d^2-(R-r)^2}=\sqrt{169-25}=12.

Ответ:

L = 12