Полюс и поляра | Академия

01гармония

Четвёрка со значением минус один

Двойное отношение четырёх точек прямой разбиралось в пятой статье серии. Определение в координатах:

(A,B;C,D)=\frac{(c-a)(b-d)}{(b-c)(d-a)}.

Четвёрку называют гармонической, если это число равно $-1$ . Знак минус означает, что одна из точек $C$ , $D$ лежит внутри отрезка $AB$ , а другая снаружи; единица по модулю — что делят они его в одном и том же отношении.

По трём точкам четвёртая восстанавливается однозначно: условие даёт линейное уравнение,

d=\frac{ac+bc-2ab}{2c-a-b}.

$—$ $—$ $—$

Подведи C к середине AB — и D уедет в бесконечность. Это тот самый предельный случай.

Знаменатель обращается в ноль ровно тогда, когда $C$ — середина $AB$ . Тогда четвёртая точка бесконечно удалённая; это тот случай, ради которого в пятой статье к прямой добавлялась ещё одна точка.

Соотношение, давшее название:

\frac{2}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD},

где все отрезки направленные; $AB$ — среднее гармоническое двух других.

Гармоничность сохраняется при проекциях: двойное отношение при них не меняется, а значит, не меняется и равенство $-1$ . Гармоническую четвёрку можно переносить с прямой на прямую, как любое значение двойного отношения.

02построение

Полный четырёхсторонник

Возьмём четыре точки общего положения $A$ , $B$ , $C$ , $D$ и проведём все шесть прямых через пары из них. Получится полный четырёхсторонник. У него три диагональные точки:

P=AB\cap CD,\qquad Q=AD\cap BC,\qquad R=AC\cap BD.

Пусть прямая $PQ$ пересекает $AC$ в точке $M$ . Тогда четвёрка $(A,C;R,M)$ гармоническая.

$—$ $—$

Прямая PQ высекает на диагоналях точки M и N; обе четвёрки остаются равными -1 при любом положении вершин. Точки, уехавшие за край, не показываются.

Доказательство. Применим проективное преобразование, уводящее прямую $PQ$ в бесконечность. Двойное отношение при этом не меняется, поэтому достаточно доказать утверждение в новом положении.

Теперь $P$ и $Q$ бесконечно удалены, то есть $AB\parallel CD$ и $AD\parallel BC$ . Четырёхугольник $ABCD$ стал параллелограммом, а $R$ — точкой пересечения его диагоналей, то есть серединой $AC$ . Точка $M$ лежит на прямой $PQ$ , ушедшей в бесконечность, поэтому она бесконечно удалена. По пятой статье

(A,C;\text{середина},\infty)=-1.

Построение четвёртой гармонической точки одной линейкой: даны три точки на прямой; достраиваем чертёж до полного четырёхсторонника, и пересечение даёт нужную точку. Ни циркуль, ни деления на линейке не нужны.

То же верно для второй диагонали: если $PQ$ пересекает $BD$ в точке $N$ , то четвёрка $(B,D;R,N)$ гармоническая. Доказательство то же.

03определение

Поляра точки

Возьмём окружность с центром $O$ и радиусом $R$ и точку $P\ne O$ . Будем считать все точки векторами из центра. Полярой точки $P$ называется множество

$\langle X,P\rangle=R^{2}$

где $\langle\,\cdot\,,\cdot\,\rangle$ — скалярное произведение векторов, отложенных из центра окружности.

Условие линейно по $X$ , значит, поляра — прямая. Она перпендикулярна $OP$ : скалярное произведение с $P$ постоянно ровно на прямых, перпендикулярных $P$ . Расстояние от центра до неё находится подстановкой точки $X=\lambda P$ :

\lambda|P|^2=R^2\ \Longrightarrow\ d(O,\text{поляра})=\frac{R^2}{OP}.

Это расстояние даёт инверсия из четвёртой статьи: поляра проходит через образ $P$ при инверсии относительно окружности и перпендикулярна $OP$ . Это первое описание.

$—$ $—$

$—$

Заведи P внутрь круга — поляра уйдёт наружу, а касательных не останется. Подведи Q к поляре P : два расстояния обнулятся одновременно.

Второе описание: гармоническое сопряжение

Проведём через $P$ секущую, пересекающую окружность в точках $X$ и $Y$ , и возьмём точку $Z$ , гармонически сопряжённую $P$ относительно $X$ и $Y$ . Утверждение: все такие $Z$ лежат на поляре.

$—$ $—$

Поворачивай секущую: точка Z с (X, Y; P, Z) = -1 всё время остаётся на красной прямой — поляре точки P . Это верно и для внутренней точки P .

Доказательство. Пусть $M$ — середина хорды $XY$ , а $u$ — единичный вектор вдоль секущей. Из определения гармонической четвёрки в координатах на этой прямой получается равенство

\overline{MP}\cdot\overline{MZ}=MX^2=R^2-|M|^2,

где вектор $M$ перпендикулярен $u$ , поскольку радиус в середину хорды перпендикулярен ей. Запишем $P=M+tu$ и $Z=M+su$ , где $ts=R^2-|M|^2$ . Тогда

\langle Z,P\rangle=\langle M+su,\;M+tu\rangle=|M|^2+st=|M|^2+R^2-|M|^2=R^2.

Скалярное произведение равно $R^2$ , то есть $Z$ лежит на поляре $P$ . Оба описания совпали. Выражение $\langle Z,P\rangle$ симметрично, поэтому утверждение « $Z$ на поляре $P$ » равносильно утверждению « $P$ на поляре $Z$ »; этому посвящён пятый раздел.

04частные случаи

Точка снаружи и на окружности

Определение поляры одно, но вид её зависит от положения точки.

$—$ $—$

Снаружи поляра — хорда касания T₁T₂; на окружности — касательная; внутри — прямая вне круга, тем дальше, чем ближе P к центру.

Точка снаружи

Пусть $OP>R$ . Из $P$ к окружности проводятся две касательные; обозначим точки касания $T_1$ и $T_2$ . Радиус перпендикулярен касательной, поэтому $\langle T,\,P-T\rangle=0$ , а значит,

\langle T,P\rangle=|T|^2=R^2.

Обе точки касания удовлетворяют уравнению поляры. Через две точки проходит одна прямая, поэтому поляра внешней точки — хорда, соединяющая точки касания.

Точка на окружности

Если $OP=R$ , сама точка удовлетворяет уравнению: $\langle P,P\rangle=R^2$ . Поляра проходит через $P$ и перпендикулярна $OP$ — это касательная в точке $P$ .

Точка внутри

Если $OP<R$ , расстояние от центра до поляры равно $R^2/OP>R$ , и прямая проходит вне круга. Касательных из внутренней точки нет, хорды касания тоже; остаётся определение через гармоническое сопряжение.

Когда точка приближается к окружности снаружи, две точки касания сближаются, и хорда стягивается в касательную. Когда точка уходит внутрь, поляра удаляется от круга тем дальше, чем ближе точка к центру. У самого центра поляра бесконечно удалена.

05взаимность

Теорема Брокара

Уравнение поляры симметрично относительно двух точек:

\langle Q,P\rangle=R^2\ \Longleftrightarrow\ \langle P,Q\rangle=R^2.

Левая часть означает, что $Q$ лежит на поляре $P$ , правая — что $P$ лежит на поляре $Q$ . Утверждения равносильны.

Следствие. Если точка $X$ пробегает прямую $\ell$ , то поляры всех таких точек проходят через одну точку — полюс прямой $\ell$ , то есть точку $L$ , полярой которой служит $\ell$ . Действительно, $X$ на поляре $L$ равносильно тому, что $L$ на поляре $X$ .

точка X на прямой40

$—$

Пока X движется по ℓ, её поляра (красная) поворачивается вокруг полюса L; бледный пунктир — поляры других точек той же прямой.

Самополярный треугольник

Возьмём четыре точки на окружности и достроим полный четырёхсторонник, как во втором разделе. Его диагональный треугольник $PQR$ обладает свойством: поляра каждой вершины — противоположная сторона. Такой треугольник называют самополярным.

$—$

Пунктирные прямые — поляры вершин P, Q, R; каждая совпадает с противоположной стороной красного треугольника. Серые отрезки из O перпендикулярны сторонам: O — ортоцентр.

Доказательство. Из второго раздела четвёрка $(A,C;R,M)$ гармоническая, где $M$ — пересечение $AC$ с прямой $PQ$ . Точки $A$ и $C$ лежат на окружности, а $AC$ — секущая через $R$ ; по второму описанию поляры точка $M$ лежит на поляре $R$ .

Для секущей $BD$ так же получаем, что точка $N=BD\cap PQ$ лежит на поляре $R$ . Через $M$ и $N$ проходит прямая $PQ$ , следовательно, поляра $R$ — это прямая $PQ$ . Для двух других вершин рассуждение то же.

Поляра перпендикулярна прямой, соединяющей центр с полюсом, поэтому $OR\perp PQ$ , $OP\perp QR$ , $OQ\perp RP$ : центр окружности — ортоцентр диагонального треугольника. В этом виде утверждение и называют теоремой Брокара.

06двойственность

Точка и прямая меняются местами

Соответствие «точка — её поляра» переводит точки плоскости в прямые, а прямые — в точки. Взаимность из предыдущего раздела означает, что оно переводит и отношения между ними: если точка лежит на прямой, то полюс этой прямой лежит на поляре точки.

Словарь перевода утверждений:

было	стало
точка	прямая
прямая через две точки	точка пересечения двух прямых
три точки на одной прямой	три прямые через одну точку
точка на окружности	касательная к окружности

Верное утверждение, записанное в этих терминах, после перевода остаётся верным: доказательство переводится вместе с формулировкой.

Паскаль и Брианшон

Теорема Паскаля: если шесть точек лежат на окружности, то три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой.

$—$

Порядок точек на окружности можно менять как угодно — шестиугольник станет самопересекающимся, а прямая Паскаля останется.

Переведём её по словарю. Шесть точек окружности станут шестью касательными, то есть описанным шестиугольником. Стороны, соединяющие соседние точки, станут вершинами описанного шестиугольника. Точка пересечения противоположных сторон станет прямой, соединяющей противоположные вершины, то есть диагональю. «Три точки на одной прямой» станет «три прямые через одну точку».

Получилось: у описанного шестиугольника три главные диагонали пересекаются в одной точке. Это теорема Брианшона.

$—$

Стороны шестиугольника — касательные в шести точках. Диагонали V₁V₄, V₂V₅, V₃V₆ проходят через одну точку.

Оговорка: двойственность работает относительно фиксированной окружности, и все объекты задачи должны быть связаны с ней. Если в условии две окружности, переводить можно только относительно одной, а вторая при этом превращается в кривую второго порядка, вообще говоря, не окружность.

07применение

Разбор задачи

Из точки $P$ вне окружности проведены две секущие: первая пересекает окружность в точках $A$ и $B$ , вторая — в точках $C$ и $D$ . Докажем, что точки

Q=AD\cap BC,\qquad R=AC\cap BD

лежат на поляре точки $P$ , то есть прямая $QR$ и есть эта поляра.

$—$

Оранжевые прямые дают Q = AD \cap BC, фиолетовые — R = AC \cap BD; обе точки лежат на красной поляре. Заведи P внутрь круга: построение работает и там.

Четыре точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ задают полный четырёхсторонник, и $P$ — одна из его диагональных точек: пересечение $AB$ и $CD$ . Две другие диагональные точки — $Q$ и $R$ .

По второму разделу прямая $QR$ высекает на секущей $AB$ точку, которая вместе с $P$ гармонически сопряжена относительно $A$ и $B$ . По второму описанию поляры такая точка лежит на поляре $P$ . То же для второй секущей: прямая $QR$ высекает на $CD$ ещё одну точку поляры.

Две точки поляры найдены, обе лежат на $QR$ . Значит, $QR$ — поляра $P$ , и $Q$ , $R$ лежат на ней.

Следствия

Построение поляры одной линейкой: провести две секущие, соединить накрест, провести прямую через две полученные точки. Касательные строить не нужно, и построение работает для внутренней точки, у которой касательных нет.

Если прямая оказывается полярой точки, неподвижной по условию, то и прямая неподвижна. Обратно: если семейство прямых проходит через одну точку, их полюсы лежат на одной прямой.

Точки касания из $P$ — пересечения поляры с окружностью, поэтому построенная линейкой прямая $QR$ даёт и обе точки касания.

08задачи

Задачи на полюс и поляру

Рассмотрим две классические задачи, где перевод на язык полюсов и поляр упрощает подход к решению.

Лемма о симедиане

Касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $B$ и $C$ пересекаются в точке $D$ . Докажите, что прямая $AD$ — симедиана треугольника, то есть прямая, симметричная медиане из $A$ относительно биссектрисы угла $A$ .

$—$ $—$

D — полюс прямой BC . Красная прямая AD симметрична медиане AM (пунктир) относительно биссектрисы, а ABA'C — гармонический четырёхугольник.

Решение

Точка $D$ — полюс прямой $BC$ . Пусть прямая $AD$ вторично пересекает окружность в $A'$ , а $BC$ — в точке $X$ . Прямая $BC$ — поляра $D$ , поэтому по второму описанию поляры четвёрка $(A,A';D,X)$ гармоническая. Спроектируем её из $B$ на окружность: $A\to A$ , $A'\to A'$ , $D\to B$ (касательная), $X\to C$ . Значит, $(A,A';B,C)_\omega=-1$ : четырёхугольник $ABA'C$ гармонический.

По формуле через хорды из пятой статьи модуль двойного отношения равен $\dfrac{AB\cdot A'C}{BA'\cdot AC}$ , поэтому

\frac{AB}{AC}=\frac{A'B}{A'C}=\frac{\sin\angle BAA'}{\sin\angle CAA'},

где последнее равенство — теорема синусов: хорды $A'B$ и $A'C$ пропорциональны синусам вписанных углов при $A$ . Для медианы $AM$ из равенства площадей треугольников $ABM$ и $ACM$ получаем $\dfrac{\sin\angle BAM}{\sin\angle CAM}=\dfrac{AC}{AB}$ . Отношения синусов для $AA'$ и $AM$ обратны друг другу, то есть углы $\angle BAA'=\angle CAM$ и $\angle CAA'=\angle BAM$ : прямые $AA'$ и $AM$ симметричны относительно биссектрисы.

Описанный четырёхугольник

Окружность вписана в четырёхугольник $ABCD$ и касается сторон $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ в точках $K$ , $L$ , $M$ , $N$ . Докажите, что прямые $AC$ , $BD$ , $KM$ и $LN$ проходят через одну точку.

$—$

Красные диагонали и голубые хорды KM, LN проходят через одну точку при любом положении точек касания.

Решение

Стороны четырёхугольника — касательные, поэтому вершины — полюсы хорд: $A$ — полюс $NK$ , $B$ — полюс $KL$ , $C$ — полюс $LM$ , $D$ — полюс $MN$ .

Рассмотрим вписанный четырёхугольник $KLMN$ и его диагональные точки $X=KM\cap LN$ , $Y=KL\cap MN$ , $Z=KN\cap LM$ . По теореме Брокара поляра точки $X$ — прямая $YZ$ .

Полюс прямой $AC$ — точка пересечения поляр $A$ и $C$ , то есть $NK\cap LM=Z$ . Точка $Z$ лежит на поляре $X$ , значит, по взаимности $X$ лежит на поляре $Z$ , а это прямая $AC$ . Так же полюс $BD$ — точка $KL\cap MN=Y$ , она лежит на поляре $X$ , и $X$ лежит на $BD$ . Итак, $X$ — общая точка всех четырёх прямых.

09задачи

Проверь себя

Посчитай, впиши ответ и нажми «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Всё нужное для решения собрано в трёх формулах.

\begin{gathered} \langle X,P\rangle=R^2 \\[8pt] d(O,\text{поляра})=\frac{R^2}{OP} \\[8pt] \frac{2}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD}. \end{gathered}

Радиус окружности равен

6

, точка удалена от центра на

9

. Найди расстояние от центра до поляры этой точки.

d =

Разбор

Решение

d=\frac{R^2}{OP}=\frac{36}{9}=4.

Точка была снаружи, поляра прошла внутри круга — это хорда касания.

Ответ:

4

Чем является поляра точки, лежащей на самой окружности?

Разбор

Решение

Условие $\langle P,P\rangle=R^2$ выполнено, поэтому точка лежит на своей поляре. Прямая перпендикулярна радиусу и проходит через точку окружности — это касательная.

Ответ:

касательной в этой точке

Четвёрка

(A,B;C,D)

гармоническая,

AB=2

AD=6

. Найди

AC

AC =

Разбор

Решение

Подставим в соотношение со средним гармоническим:

\frac{2}{2}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{6}\ \Longrightarrow\ \frac{1}{AC}=\frac56\ \Longrightarrow\ AC=1{,}2.

Точка $C$ лежит внутри отрезка, точка $D$ — снаружи.

Ответ:

1{,}2

Верно ли, что поляра точки, лежащей строго внутри окружности, не имеет с окружностью общих точек?

Разбор

Решение

Расстояние от центра до поляры равно $R^2/OP$ . При $OP<R$ оно больше $R$ , значит прямая целиком вне круга.

Ответ:

верно

Радиус равен

5

, точка удалена от центра на

13

. Найди длину хорды касания.

=

Разбор

Решение

Половина хорды — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и вторым катетом $R^2/OP$ . Проще посчитать через площадь треугольника $OTP$ : длина касательной равна $12$ , и

\frac{\text{хорда}}{2}=\frac{R\cdot PT}{OP}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}.

Значит, вся хорда равна $120/13\approx9{,}23$ .

Ответ:

120/13 \approx 9{,}23

Радиус равен

6

. Точка

Q

лежит на поляре точки

P

, причём

OQ=9

. Найди расстояние от центра до поляры

Q

d =

Разбор

Решение

Расстояние считается по той же формуле: $R^2/OQ=36/9=4$ . По теореме Брокара поляра $Q$ проходит через $P$ , но на ответ это не влияет.

Ответ:

4

У каждой точки есть своя прямая, и это соответствие работает в обе стороны.

В Компендиуме разбираем конструкции, которые превращают одну теорему в две.

залетай в Академию→