Электрические цепи

В ЕГЭ электрические цепи встречаются в двух видах. Есть короткие расчётные задачи, где просят применить закон Ома, найти сопротивление соединения, определить показания амперметра и вольтметра. И есть качественные, где спрашивают, как изменится сила тока или напряжение, если что-то в цепи переключить. И те и другие держатся на небольшом наборе связанных между собой формул.

Идём по порядку школьного курса. Сначала разберёмся, что такое электрический ток и при каких условиях он идёт. Затем введём силу тока и напряжение, научимся читать схемы. После этого через опыт получим сопротивление и закон Ома для участка. Дальше соберём цепи: последовательное, параллельное и смешанное соединения. В конце разберём работу и мощность тока, ЭДС и закон Ома для полной цепи, а затем решим задачи.

Электрический ток — направленное движение свободных заряженных частиц.

В металлах носители заряда — свободные электроны, в растворах и расплавах электролитов — ионы. За направление тока условились принимать направление движения положительных зарядов, то есть в металле оно противоположно движению электронов.

Постоянный ток идёт при двух условиях. Нужна замкнутая цепь и нужен источник, который поддерживает на её концах разность потенциалов. Источник совершает работу сторонними силами — силами неэлектростатической природы, разделяя заряды внутри себя.

Ток удобно представлять как поток, текущий по цепи: во внешней цепи заряд идёт от плюса источника к минусу, а источник гонит его обратно к плюсу внутри себя, поддерживая движение. Дальше используются строгие схемы, но эта аналогия помогает удерживать картину в голове при решении задач.

Электрическая цепь состоит из источника, потребителей, соединительных проводов и ключа. На схемах каждый элемент обозначают своим условным значком. Вот те, что понадобятся в задачах.

На проводе будем ставить стрелку направления тока и подписывать её силой тока $I$. Простейшая цепь — источник, ключ и резистор, соединённые по кругу.

Пока ключ разомкнут, цепь разорвана и тока нет. Замкнём ключ — цепь становится замкнутой, и по ней идёт ток в направлении стрелки. Резистор здесь изображает любой потребитель с известным сопротивлением.

Чем больше заряда проходит по цепи за одно и то же время, тем сильнее действие тока. Эту количественную характеристику и называют силой тока.

Сила тока — заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за единицу времени. Если за время $t$ через сечение прошёл заряд $q$, то

Единица силы тока — ампер (А). Ток называют постоянным, если сила тока не меняется со временем; о таком токе и идёт речь в статье.

Силу тока измеряют амперметром. Через него должен пройти весь измеряемый ток, поэтому амперметр включают в цепь последовательно. Его собственное сопротивление стараются сделать малым, а у идеального амперметра считают нулевым, чтобы прибор не менял ток в цепи.

Чтобы досконально разобраться в теме напряжения, начнём с потенциала. Заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией.

Потенциал точки поля — потенциальная энергия, которая приходится в этой точке на единичный положительный заряд.

Напряжение на участке — работа поля по перемещению единичного заряда между концами участка, она же разность потенциалов на этих концах.

Отсюда работа поля над зарядом на участке равна

Потенциал всегда отсчитывают от какой-то точки: физический смысл имеет только разность потенциалов, поэтому одной точке цепи потенциал назначают нулём и меряют все остальные относительно неё. Обычно за ноль берут минусовую клемму источника или заземлённую точку.

Проследим, как меняется потенциал при обходе цепи. На каждом резисторе потенциал падает на $IR$ в направлении тока, а источник поднимает потенциал. Пройдя всю цепь и вернувшись в исходную точку, приходим к тому же значению. Такой график потенциала вдоль контура называют потенциальной диаграммой.

Единица напряжения — вольт (В). Напряжение измеряют вольтметром: его подключают к концам участка, то есть параллельно участку. Через сам вольтметр ток идти почти не должен, поэтому его сопротивление делают большим, а у идеального вольтметра считают бесконечным.

Соберём цепь с амперметром и вольтметром и будем менять напряжение батареями, каждый раз записывая ток. Опыт показывает, что для металлического проводника при неизменной температуре сила тока растёт прямо пропорционально напряжению на его концах.

Раз отношение напряжения к току для данного проводника постоянно, его берут за характеристику проводника.

Электрическое сопротивление — отношение напряжения на участке к силе тока в нём.

Единица сопротивления — ом (Ом). Один ом — это сопротивление такого участка, на котором напряжение $1$ В создаёт ток $1$ А. Разные проводники дают разное значение $R$.

Сопротивление зависит от материала и от геометрии проводника: для однородного проводника оно растёт с длиной и падает с площадью поперечного сечения.

Здесь $\rho$ — удельное сопротивление вещества, табличная величина материала с единицей Ом·м. Чем длиннее проводник, тем больше $R$; чем толще проводник, тем $R$ меньше.

Ту же прямую пропорциональность из опыта записывают относительно тока: сила тока на участке прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению участка.

Отсюда две другие записи того же закона:

Посмотрим на график зависимости $I$ от $U$ при постоянном $R$. Это прямая, выходящая из начала координат, и наклон её задаётся сопротивлением: тангенс угла наклона равен отношению тока к напряжению, то есть $1/R$. Поэтому чем меньше сопротивление, тем круче прямая, а при одном и том же напряжении ток тем меньше, чем больше сопротивление.

В ёлочной гирлянде старого образца лампы включены одна за другой, и стоит перегореть одной — гаснет вся ветка. Именно так выглядит наглядный пример последовательного соединения: проводники идут друг за другом, и ток течёт по единственному пути.

Через все участки идёт один и тот же ток, ведь заряду некуда свернуть:

Полное напряжение складывается из напряжений на участках:

Подставим сюда закон Ома для каждого участка и вынесем общий ток за скобку:

В общем виде $R=\sum R_i$: при последовательном соединении сопротивления складываются, и общее сопротивление больше любого из слагаемых.

Розетки в квартире включены параллельно: приборы работают независимо и все под одним напряжением сети. При параллельном соединении концы всех проводников сходятся в две общие точки — узлы, и ток в узле разветвляется.

Напряжение на всех ветвях одинаково, ведь они соединяют одни и те же две точки:

Токи ветвей складываются по закону сохранения заряда в узле — сколько втекло, столько и вытекло:

Подставим закон Ома для каждой ветви и вынесем общее напряжение за скобку:

Для двух резисторов отсюда удобно выразить сопротивление напрямую:

Ток делится в узле обратно пропорционально сопротивлениям ветвей, $I_1:I_2=R_2:R_1$: через меньшее сопротивление идёт больший ток. Общее сопротивление параллельного соединения меньше наименьшего из сопротивлений.

Реальные схемы редко бывают чисто последовательными или чисто параллельными. Обычно они смешанные, и главный приём здесь — сворачивать схему по шагам.

Находим участок, который целиком последовательный или целиком параллельный, заменяем его одним резистором с эквивалентным сопротивлением и перерисовываем схему. Повторяем, пока не останется одно сопротивление. Дальше применяем закон Ома ко всей цепи, а затем разворачиваем шаги обратно, восстанавливая токи и напряжения на каждом резисторе.

Два опорных факта, на которые опираемся при разворачивании: у последовательных участков общий ток, у параллельных — общее напряжение. Через них восстанавливают всё остальное.

Ток всегда совершает работу. За время $t$ через участок проходит заряд $q=It$ и преодолевает напряжение $U$, поэтому работа тока равна

Мощность — это работа в единицу времени. Подставляя закон Ома, её записывают в трёх удобных формах:

На резисторе вся эта энергия выделяется теплом. Количество теплоты за время $t$ даёт закон Джоуля — Ленца:

Теперь про источник. ЭДС источника — работа сторонних сил по перемещению единичного заряда внутри источника, $\mathcal{E}=A_{\text{ст}}/q$. У реального источника есть внутреннее сопротивление $r$, на котором тоже падает напряжение.

Обойдём замкнутую цепь по кругу и вернёмся в исходную точку с тем же потенциалом. Значит, сумма падений напряжения на всех участках равна ЭДС источника, $\sum IR=\mathcal{E}$. Это закон сохранения энергии для контура. Для цепи из внешнего сопротивления $R$ и внутреннего $r$ он даёт закон Ома для полной цепи:

Напряжение на клеммах источника — это то, что достаётся внешней цепи, $U=\mathcal{E}-Ir$. Часть ЭДС теряется внутри источника на его сопротивлении $r$, и чем больше ток, тем заметнее эта потеря.

Соберём последовательное и параллельное соединения на одном смешанном примере.

В цепи резистор $R_1=3$ Ом соединён параллельно с $R_2=1$ Ом; эта пара последовательно соединена с $R_3=5$ Ом и источником. Идеальный амперметр включён последовательно с $R_1$ и показывает $1$ А. Найти напряжение на $R_2$.

Шаг 1. Идеальный амперметр включён последовательно с $R_1$, поэтому показывает ток именно через $R_1$: $I_1=1$ А.

Шаг 2. Резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены параллельно, значит напряжение на них общее: $U=U_1=U_2$.

Шаг 3. Напряжение на $R_1$ по закону Ома:

Шаг 4. Это же напряжение приложено к $R_2$, поэтому $U_2=3$ В. Значения $R_3$ и ЭДС для ответа не нужны.

Ответ: напряжение на $R_2$ равно $3$ В.

Смешанная цепь: два способа решения

Источник постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E}=12$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом. К нему последовательно подключён резистор $R_1=2$ Ом, за которым параллельно соединены $R_2=6$ Ом и $R_3=3$ Ом. Найдите силу тока через источник, силу тока через $R_3$ и потенциал точки $P$ между $R_1$ и параллельным участком относительно минусовой клеммы.

Метод 1. Свёртка схемы. Параллельный участок сворачиваем в одно сопротивление:

Внешнее сопротивление — последовательно $R_1$ и $R_{23}$:

Ток через источник по закону Ома для полной цепи:

Напряжение на параллельном участке — это ток, умноженный на $R_{23}$:

Ток через $R_3$ и проверка по узлу:

Метод 2. Через потенциалы. Примем потенциал минусовой клеммы за ноль, $\varphi_-=0$. Напряжение на клеммах равно $\mathcal{E}-Ir$ и одновременно падению на внешней цепи $I\,R_{\text{внеш}}$. Приравняв, получаем тот же ток:

Потенциал плюсовой клеммы и потенциал точки $P$ после спуска на $R_1$:

Токи ветвей сразу из потенциалов, как $\dfrac{\Delta\varphi}{R}$:

Ответ: $I=2{,}4$ А, ток через $R_3$ равен $1{,}6$ А, потенциал точки $P$ равен $4{,}8$ В.

Смысл двух методов: первый быстрее, когда нужен общий ток; второй нагляднее, когда нужен потенциал конкретной точки или токи многих ветвей сразу — расставил потенциалы, и каждый ток берётся как $\dfrac{\Delta\varphi}{R}$.

Шесть задач из открытого банка ЕГЭ по физике. Посчитайте, впишите ответ или выберите вариант и нажмите «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей.