Ускорение

Ускорение — одна из базовых тем механики, и в ЕГЭ по физике она встречается постоянно. В первой части это короткие задачи на расчёт и работа с графиками скорости: найти ускорение по наклону прямой, путь по площади под графиком. Во второй части ускорение прячется внутри развёрнутых задач на свободное падение, бросок под углом к горизонту и движение по окружности, где нужно расписать полное решение.

По кодификатору сюда входят четыре пункта — ускорение материальной точки, равноускоренное прямолинейное движение, свободное падение и бросок под углом к горизонту, движение по окружности. Все четыре держатся на одном определении.

Скорость — это вектор, у неё есть не только величина, но и направление. Ускорение показывает, как быстро скорость меняется, а меняться она может тремя способами. По модулю — это разгон и торможение. По направлению — это поворот. Или сразу и так, и так. Любое из этих изменений физика считает ускорением.

Записывают это коротко: ускорение равно изменению скорости, делённому на время, за которое оно произошло, $\vec a=\dfrac{\Delta\vec v}{\Delta t}$. Дальше разберём определение по частям и увидим, как из одной формулы вырастают все четыре темы.

Пусть в момент времени $t_1$ скорость тела равна $\vec v_1$, а в момент $t_2$ она равна $\vec v_2$. Промежуток времени равен $\Delta t=t_2-t_1$, а изменение скорости — векторная разность:

Векторную разность строят не так, как обычное вычитание чисел: векторы для этого переносят в одну точку. Разберём это по шагам на схеме.

Средним ускорением за этот промежуток называют отношение изменения скорости к промежутку времени, за который оно произошло:

Ускорение — вектор, и направлен он туда же, куда направлен $\Delta \vec v$. Это не обязательно совпадает с направлением самой скорости; к этому вернёмся в следующем разделе.

Из формулы понятно, что ускорение показывает, на сколько метров в секунду меняется скорость за каждую секунду движения. Единица ускорения — метр на секунду в квадрате, м/с².

Среднее ускорение зависит от того, какой промежуток времени выбран. Чтобы получить ускорение в конкретный момент, промежуток $\Delta t$ устремляют к нулю:

Мгновенное ускорение

На практике почти всегда имеют в виду именно мгновенное ускорение, а не среднее. В задачах ЕГЭ, где ускорение постоянно, среднее и мгновенное ускорения совпадают, и разница между ними не принципиальна. Но там, где ускорение меняется со временем, эта разница существенна.

Проследим, как направление ускорения влияет на изменение скорости. Возможны три случая.

Ускорение сонаправлено скорости. Тогда $\Delta \vec v$ смотрит туда же, куда и сама скорость, и модуль скорости растёт. Это разгон — вагон трогается с места, мяч катится под горку.

Ускорение направлено против скорости. Модуль скорости убывает, движение замедленное. Так тормозит машина перед светофором.

Ускорение перпендикулярно скорости. Тогда модуль скорости не меняется вовсе, а меняется только направление. Так происходит при равномерном движении по окружности — колесо обозрения, спутник на круговой орбите.

Ускорение при нулевой скорости

Типичная ошибка в задачах связана с ускорением при нулевой скорости. Кажется, что если скорость равна нулю, то и ускорение тоже, но это далеко не так.

Возьмём мяч, брошенный вертикально вверх. В верхней точке траектории скорость мяча на мгновение равна нулю. Ускорение при этом не пропадает: сила тяжести продолжает действовать, и мяч тут же начинает набирать скорость вниз. Ускорение свободного падения $g$ в этой точке направлено вниз и по модулю равно $9{,}8$ м/с², точно так же, как в любой другой точке полёта.

Ускорение при движении по кривой можно разложить на две составляющие. Одна направлена вдоль скорости и меняет её модуль, другая перпендикулярна скорости и меняет её направление. Первую называют тангенциальным ускорением, вторую — нормальным, или центростремительным. При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью работает только вторая составляющая, и этот случай разберём в конце статьи.

Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным: ускорение постоянно и по модулю, и по направлению, $\vec a=\text{const}$. Здесь и дальше речь о прямолинейном движении, где проекции векторов на выбранную ось записывают как числа со знаком.

Из определения ускорения при постоянном $a$ несложно получить, как скорость зависит от времени. Раз $a=\dfrac{v-v_0}{t}$, где $v_0$ — скорость в начальный момент, то

Путь при равноускоренном движении находят как площадь под графиком скорости — этому посвящён отдельный раздел ниже. Итоговая формула координаты:

Если время в задаче неизвестно, а даны скорости и путь, время исключают алгебраически из первых двух формул:

Ещё одна полезная формула — путь через среднюю скорость:

Важная оговорка: формула для средней скорости верна только при равноускоренном движении. При произвольном изменении скорости среднее арифметическое $v_0$ и $v$ брать нельзя.

Графики равноускоренного движения

Чтобы понять, откуда берётся форма каждого графика, стоит ещё раз посмотреть на формулы. Ускорение по определению равноускоренного движения постоянно, поэтому график $a(t)$ — горизонтальная прямая.

Графиком $v(t)$ служит наклонная прямая: это следует из формулы $v=v_0+at$, где время стоит в первой степени. Угол наклона напрямую связан с ускорением — тангенс этого угла равен $a$, поэтому чем больше модуль ускорения, тем круче линия.

Графиком $x(t)$ служит парабола. В формуле $x=x_0+v_0t+\dfrac{at^2}{2}$ время входит уже в квадрате, а квадратичная зависимость на графике выглядит как парабола: при $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз.

Знак ускорения и выбор оси

Ускорение отрицательно не потому, что тело «тормозит», а потому, что его направление противоположно выбранному направлению оси координат. Если ось направить в другую сторону, то же самое ускорение запишется с другим знаком, а движение при этом останется тем же самым. Прежде чем подставлять числа в формулы, направление оси стоит зафиксировать один раз и дальше не менять по ходу решения.

Стоит также обратить внимание на различие понятий «путь» и «перемещение». Пока тело движется в одну сторону, они совпадают. Как только направление движения меняется — например, мяч поднялся и полетел обратно, — путь продолжает расти, а перемещение может и уменьшаться. Формулы выше дают координату и путь для движения без смены направления; случай со сменой направления разобран в следующем разделе.

У графика $v(t)$ есть геометрический смысл, который упрощает многие задачи: путь, пройденный телом, равен площади фигуры между графиком и осью времени.

Для равноускоренного движения фигура под графиком — трапеция с основаниями $v_0$ и $v$ и высотой $t$. Площадь трапеции равна $\dfrac{v_0+v}{2}\cdot t$ — та же формула пути через среднюю скорость, только полученная из площади, а не из алгебры.

Приём работает для графика любой формы, не только для наклонной прямой. Поэтому его удобно использовать в задачах, где график ступенчатый или ломаный: путь на каждом участке считается по площади своей фигуры, а полный путь — их суммой.

Когда график пересекает ось времени?

Если тело меняет направление движения — например, летит вверх, а потом вниз, — график $v(t)$ пересекает ось $t$ в момент разворота, как у мяча, брошенного вертикально вверх. На этом участке скорость меняет знак, а значит, меняет знак и площадь под графиком.

Площадь ниже оси, взятая со своим знаком, и есть перемещение: она вычитается из площади выше оси. А для пути, наоборот, площади всех участков берут по модулю и складывают. Важно не спутать эти две суммы.

Свободным называют падение, при котором на тело действует только сила тяжести.

Ускорение свободного падения обозначают $g$. У поверхности Земли оно равно $9{,}8$ м/с², в задачах часто округляют до $10$ м/с². Направлено $g$ всегда вертикально вниз и от массы падающего тела не зависит: сила тяжести пропорциональна массе, а ускорение по второму закону Ньютона от неё обратно пропорционально, поэтому масса сокращается.

Раз $g=\text{const}$, свободное падение — частный случай равноускоренного движения, и все формулы из предыдущих разделов работают, если подставить $a=g$. Направление оси удобно выбирать вниз: тогда $g$ входит в формулы со знаком плюс.

Например, тело, отпущенное без начальной скорости с высоты $h$, падает время

и достигает земли со скоростью

Обе формулы — прямое следствие $x=\dfrac{gt^2}{2}$ и $v=gt$ при $v_0=0$.

Тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту, движется сложнее, чем при свободном падении: у его скорости есть и горизонтальная, и вертикальная составляющая.

Начальную скорость $v_0$ раскладывают по осям через угол броска. Вектор $v_0$ и его проекции образуют прямоугольный треугольник, где угол между $v_0$ и горизонтом равен $\alpha$. Прилежащий катет даёт проекцию на горизонтальную ось, $v_0\cos\alpha$, противолежащий — проекцию на вертикальную, $v_0\sin\alpha$.

По горизонтали на тело ничего не действует — сопротивлением воздуха пренебрегают, — поэтому горизонтальная составляющая скорости остаётся равной $v_0\cos\alpha$ весь полёт, и координата растёт равномерно:

По вертикали действует только сила тяжести, и вертикальная составляющая меняется так же, как при свободном падении, только не с нулевой, а с начальной скоростью $v_0\sin\alpha$, направленной вверх:

Из этих двух уравнений выводятся три формулы, которые чаще всего нужны в задачах.

Время полёта — момент, когда тело возвращается на высоту старта, $y=0$:

Максимальная высота: в верхней точке вертикальная скорость на мгновение равна нулю, и подстановка половины времени полёта в $y(t)$ даёт

Дальность полёта — координата $x$ в момент приземления:

Траектория оказывается параболой, и это не отдельный физический факт, а математическое следствие уже полученных формул. Координата $x=v_0\cos\alpha\cdot t$ линейна по времени, потому что горизонтальная составляющая скорости постоянна.

Координата $y=v_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}$ содержит слагаемое с $t^2$, унаследованное от свободного падения, поэтому зависит от времени квадратично. Выразив $t=x/(v_0\cos\alpha)$ из первой формулы и подставив во вторую, получают $y$ как квадратичную функцию $x$. Это и есть уравнение параболы.

Горизонтальный бросок

При $\alpha=0$ синус обращается в ноль, а косинус — в единицу. Формула для $y$ теряет первое слагаемое и превращается в обычное свободное падение, а по горизонтали тело движется равномерно с той же начальной скоростью $v_0$.

Скорость при движении под углом

В любой точке траектории скорость тела — вектор. Его горизонтальная составляющая не меняется и равна $v_0\cos\alpha$, а вертикальная меняется по закону свободного падения, $v_0\sin\alpha-gt$. В верхней точке вертикальная составляющая равна нулю, но горизонтальная остаётся прежней — значит, скорость там не равна нулю, а равна $v_0\cos\alpha$ и направлена горизонтально.

Криволинейное движение — общий случай, когда траектория не прямая. В каждой точке такой траектории скорость направлена по касательной.

Важный частный случай — равномерное движение по окружности. Модуль скорости здесь постоянен, а направление всё время меняется. Именно поэтому такое движение считается ускоренным, хотя модуль скорости, казалось бы, никак не меняется.

Центростремительное ускорение

Возьмём две близкие точки траектории. Скорости в них $\vec v_1$ и $\vec v_2$ равны по модулю, но направлены чуть по-разному — на угол поворота радиуса между этими точками. Их разность $\Delta \vec v$ не равна нулю, хотя $|\vec v_1|=|\vec v_2|$: у векторов одинаковой длины, но разного направления разность никогда не равна нулю. Именно из-за поворота направления и появляется ускорение.

При $\Delta t\to 0$ вектор $\Delta \vec v$ поворачивается на $90^\circ$ относительно скорости и оказывается направлен точно к центру окружности. Поэтому ускорение при равномерном движении по окружности называют центростремительным. Его модуль:

Угловая скорость и период

Быстроту вращения измеряют не только линейной скоростью, но и угловой. Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается радиус за единицу времени:

Измеряется она в радианах в секунду и связана с линейной скоростью через радиус:

Время одного полного оборота называют периодом:

Число оборотов в единицу времени — частота, обратная периоду: $\nu=1/T$.

В первой части экзамена решение не проверяют: в бланк уходит одно число. Поэтому весь балл держится на том, какая формула выбрана и с каким знаком в неё подставлены величины. Разберём четыре задачи — по одной на каждый вид движения из предыдущих разделов.

Порядок везде один и тот же: выписываем данные, называем вид движения, берём формулу для этого движения в общем виде и только в последней строке подставляем числа. Так ошибку видно сразу, а не после подсчёта.

в кинематике баллы теряют не на физике, а на знаке проекции

Шесть реальных задач из открытого банка ЕГЭ. Посчитайте, впишите ответ или выберите вариант и нажмите «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей.