Работа и энергия

01постановка

Работа силы

Работа показывает, сколько энергии сила передала телу. Для постоянной силы она равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними:

A = F s \cos\alpha.

Почему в определении стоит именно произведение. Разгоняя тело постоянной силой, за вдвое больший путь ему передают вдвое больше энергии; вдвое большая сила на том же пути — тоже вдвое больше.

Мера переданной энергии обязана расти в обоих случаях одинаково, и этому отвечает произведение $F s$ . В следующем разделе тот же результат получается расчётом через ускорение.

Косинус в этой записи стоит по делу, ведь работу совершает только та составляющая силы, которая направлена вдоль перемещения. Поэтому у силы, перпендикулярной движению, работа равна нулю:

\alpha = 90^\circ \;\Rightarrow\; A = 0.

Так ведут себя сила натяжения нити при вращении груза по окружности и сила нормальной реакции, когда тело едет по горизонтали.

Сила40 НПеремещение5,0 мУгол к перемещению60°

работа100 Джвдоль перемещения20,0 Нпоперёк34,6 Н

Работу совершает только составляющая вдоль перемещения. При 90° работа равна нулю, при тупом угле — отрицательна: сила тормозит тело.

Знак работы содержателен. При остром угле работа положительна, ведь сила разгоняет тело и передаёт ему энергию. При тупом — отрицательна, сила тормозит, и энергия уходит от тела. Работа силы трения при скольжении всегда отрицательна, потому что трение направлено против движения.

Если сила меняется по пути, произведением уже не обойтись. Тогда работу считают как площадь под графиком зависимости силы от координаты — этим приёмом в следующем разделе получена энергия пружины. Измеряется работа в джоулях: $1\ \text{Дж} = 1\ \text{Н}\cdot\text{м}$ .

02энергия

Кинетическая и потенциальная

Кинетическая энергия — энергия движения. Её вид следует прямо из определения работы. Разгоним тело из состояния покоя силой $F$ на пути $s$ . Работа равна $Fs = mas$ , а из кинематики $2as = v^2$ , откуда

A = \frac{mv^2}{2} = E_{\text{к}}.

Работа равнодействующей равна изменению кинетической энергии.

Это теорема о кинетической энергии, и она верна всегда — при любых силах и любой траектории. В задачах ею удобно заменять расчёт через ускорения, ведь достаточно знать работу всех сил и скорости в начале и в конце.

Потенциальная энергия связана с положением тела, а не с его движением. Откуда для тела вблизи Земли берётся $mgh$ , видно из той же работы.

Поднимая груз равномерно, прикладывают силу $mg$ и проходят путь $h$ . Отпущенное тело возвращает эту работу целиком, разгоняясь до прежней скорости. Запасённую работу и называют потенциальной энергией:

A = mgh = E_{\text{п}}.

Для пружины формула $kx^2/2$ получается так же, только сила по пути меняется. Она растёт от нуля до $kx$ линейно, поэтому средняя сила равна половине наибольшей, а работа — произведению средней силы на путь. На графике это площадь треугольника:

A = \frac{kx}{2}\cdot x = \frac{kx^2}{2}.

Множитель $1/2$ здесь того же происхождения, что и в кинетической энергии, — он всегда появляется там, где величина нарастает от нуля равномерно.

Жёсткость400 Н/мДеформация5 см

сила упругости—энергия пружины—при вдвое большей деформации—

Закрашенный треугольник и есть энергия пружины: kx²/2. Увеличь деформацию вдвое — энергия вырастет вчетверо, что и видно по площади.

Общее у этих двух случаев то, что работа соответствующей силы не зависит от формы пути. Поднимая груз по лестнице, по наклонной или подъёмником, против силы тяжести совершают одну и ту же работу — важна только разность высот.

Такие силы называют потенциальными. Трение к ним не относится, поэтому никакой «потенциальной энергии трения» не существует.

разбор линия 3ЕГЭ-2026, основная волна, резервный день

Ученик исследовал зависимость силы упругости

F

от её растяжения

x

и получил следующие результаты:

\begin{array}{c|c||c|c} F,\ \text{Н} & x,\ \text{м} & F,\ \text{Н} & x,\ \text{м} \\ \hline 0 & 0 & 1{,}5 & 0{,}06 \\ 0{,}5 & 0{,}02 & 2 & 0{,}08 \\ 1 & 0{,}04 & 2{,}5 & 0{,}10 \end{array}

Определите потенциальную энергию пружины при её растяжении на 0,04 м. Ответ дайте в джоулях.

Дано

$F(x)\ \text{— по таблице}$

$x = 0{,}04\ \text{м}$

Найти

$E_{\text{п}}$

Что за пружина. По таблице каждые 0,02 м растяжения прибавляют ровно 0,5 Н. Сила пропорциональна растяжению, значит выполняется закон Гука:

F = kx.

Возьмём любую строку таблицы и поделим силу на растяжение:

k = \frac{0{,}5}{0{,}02} = 25\ \text{Н/м}.

Откуда отсчитывать энергию. Нулём для пружины берут недеформированное состояние. Тогда потенциальная энергия равна работе, которую совершили при растяжении, и никакой постоянной добавки в формуле нет.

Сила упругости по пути растёт от нуля до $kx$ линейно, поэтому её работа равна площади треугольника под графиком:

E_{\text{п}} = \frac{kx^2}{2}.

Считаем:

\begin{aligned} E_{\text{п}} &= \frac{25\cdot (0{,}04)^2}{2} \\ &= 0{,}02\ \text{Дж}. \end{aligned}

Жёсткость можно было и не считать. При $x = 0{,}04$ м сила по таблице равна 1 Н, и площадь того же треугольника даёт $1\cdot 0{,}04/2 = 0{,}02$ Дж.

Ответ: 0,02 Дж

03закон

Сохранение механической энергии

Если из всех сил работу совершают только потенциальные — тяжести и упругости, — сумма кинетической и потенциальной энергий не меняется:

E_{\text{к}} + E_{\text{п}} = \text{const}.

Выводится это из теоремы о кинетической энергии предыдущего раздела. Работа всех сил равна приросту кинетической энергии, а для тяжести и упругости та же работа равна убыли потенциальной, ведь поднимаясь, тело запасает, опускаясь — тратит.

\begin{aligned} A &= \Delta E_{\text{к}}, \\ A &= -\Delta E_{\text{п}}. \end{aligned}

Левые части одинаковы, значит равны и правые:

\Delta E_{\text{к}} + \Delta E_{\text{п}} = 0.

Сумма не меняется — это и есть закон сохранения механической энергии. Он сильно короче расчёта через силы, ведь чтобы найти скорость в нижней точке горки, не нужно знать её профиль — достаточно перепада высот.

Высота горки5,0 мКоэффициент трения0,05Масса1,0 кг

кинетическая—потенциальная—ушло в тепло—

Поставь трение в ноль — сумма синего и фиолетового столбиков останется постоянной. С трением общая высота столбиков та же, но часть энергии уходит в тепло.

Как только появляется трение, механическая энергия сохраняться перестаёт, часть её переходит во внутреннюю, тела нагреваются. В выводе выше работа трения добавится к работе потенциальных сил, а она отрицательна — значит сумма $E_{\text{к}} + E_{\text{п}}$ убывает ровно на её модуль.

Общий закон сохранения энергии при этом остаётся в силе, в баланс лишь добавляется тепло:

\begin{aligned} E_{\text{нач}} &= E_{\text{кон}} + Q, \\ Q &= |A_{\text{тр}}|. \end{aligned}

Весь этот баланс держится в одной сцене. Тело съезжает с горки и едет дальше по полу, а рядом с ним растут три столбика — кинетическая энергия, потенциальная и то, что ушло в тепло. При нулевом трении третий остаётся пустым, и первые два всё время дополняют друг друга до полного запаса.

горка любой формы — работа силы тяжести зависит только от перепада высот

разбор линия 3ЕГЭ-2026, основная волна, резервный день

Шарик массой 400 г падает с некоторой высоты. Начальная скорость шарика равна нулю. Его кинетическая энергия при падении на землю равна 7 Дж, а потеря энергии за счёт сопротивления воздуха составила 1 Дж. С какой высоты упал шарик? Ответ дайте в метрах.

Дано

$m = 400\ \text{г}$

$E_{\text{к}} = 7\ \text{Дж}$

$Q = 1\ \text{Дж}$

Найти

$h$

Что происходит. Шарик отпускают без начальной скорости, вниз его тянет сила тяжести. Воздух тормозит и забирает часть энергии в тепло, поэтому механическая энергия не сохраняется и нужен полный баланс.

Нулевой уровень. Отсчёт потенциальной энергии возьмём от земли. Тогда в конечном состоянии её нет вовсе, и в балансе остаются ровно те три величины, которые даны в условии.

Начальное состояние — покой на высоте $h$ , конечное — удар о землю. Весь начальный запас делится между кинетической энергией и теплом:

mgh = E_{\text{к}} + Q.

Выразим её из этого равенства:

h = \frac{E_{\text{к}} + Q}{mg}.

Масса в СИ равна 0,4 кг:

h = \frac{7 + 1}{0{,}4\cdot 10} = 2\ \text{м}.

Ответ: 2 м

04применение

Мощность и КПД

Мощность — работа, делённая на время, за которое она совершена:

P = \frac{A}{t}.

Для тела, которое движется с постоянной скоростью под действием постоянной силы, есть более удобная запись. Подставим $A = Fs$ и $s = vt$ — время сократится:

P = F v.

КПД показывает, какая доля затраченной работы оказалась полезной:

\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}\cdot 100\ \%.

Масса груза500 кгВысота подъёма20 мВремя подъёма50 сКПД80 %

полезная работа100,0 кДжзатраченная125,0 кДжполезная мощность2,00 кВтмощность двигателя2,50 кВтскорость подъёма0,40 м/с

Полезная работа не зависит от времени — только от массы и высоты. Время влияет на мощность: тот же груз быстрее поднять труднее.

разбор линия 3ЕГЭ-2021, досрочная волна

При равномерном перемещении саней по горизонтальному участку пути длиной 50 м сила тяги совершает работу, величина которой равна 1000 Дж. Какова сила трения? Ответ дайте в ньютонах.

Дано

$s = 50\ \text{м}$

$A_{\text{тяги}} = 1000\ \text{Дж}$

Найти

$F_{\text{тр}}$

Что известно о движении. Сани идут равномерно и прямолинейно, значит равнодействующая равна нулю: скорость не меняется, и кинетическая энергия саней остаётся прежней.

Выбор оси. Ось направим вдоль перемещения. Тогда у силы тяжести и силы нормальной реакции проекции нулевые, и от всей системы сил остаётся одно уравнение:

F_{\text{тяги}} = F_{\text{тр}}.

Сила тяги. Она направлена вдоль перемещения, косинус равен единице, поэтому работа — это просто произведение силы на путь:

A = F_{\text{тяги}}\, s.

Подставляем числа:

F_{\text{тр}} = \frac{A}{s} = \frac{1000}{50} = 20\ \text{Н}.

На том же равенстве держится формула $P = Fv$ для движения с постоянной скоростью, где вся мощность тяги уходит на преодоление сопротивления, и кинетическая энергия не растёт.

Ответ: 20 Н

работа не зависит от времени, мощность — зависит

05вторая часть

Разбор второй части

Во второй части одного ответа мало, эксперт проверяет решение целиком. В нём называют модель — материальную точку, гладкую поверхность, лёгкую нить — и систему отсчёта, записывают законы в общем виде и только потом подставляют числа.

В качественной задаче вместо вычислений идёт цепочка рассуждений, где каждый шаг опирается на названный закон. В задаче 26 к решению добавляется обоснование, почему выбранные законы в этой ситуации применимы.

Ниже три задачи из разных вариантов, разобранные в том порядке, в каком их читает эксперт. Во всех трёх работает закон сохранения энергии или теорема о кинетической энергии, но в каждой нужно отдельно проверить, можно ли ими пользоваться.

разбор линия 21ЕГЭ-2023, основная волна

После толчка льдинка закатилась в яму с гладкими стенками, в которой она может двигаться практически без трения. На рисунке приведён график зависимости энергии взаимодействия льдинки с Землёй от её координаты в яме. В некоторый момент времени льдинка находилась в точке А с координатой

x = 50

см и двигалась влево, имея кинетическую энергию, равную 2 Дж. Сможет ли льдинка выскользнуть из ямы? Ответ поясните, указав, какие физические закономерности вы использовали для объяснения.

Дано

$x_A = 50\ \text{см}$

$E_{\text{к}A} = 2\ \text{Дж}$

$E_{\text{п}}(x)\ \text{— по графику}$

Найти

$\text{выскользнет ли льдинка}$

Льдинку считаем материальной точкой, систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной.

Трения нет. Стенки гладкие. Сила нормальной реакции перпендикулярна скорости и работы не совершает, работает только сила тяжести. Значит, полная механическая энергия льдинки постоянна:

E_{\text{к}} + E_{\text{п}} = \text{const}.

Шкала энергии. Нулевой уровень уже выбран за нас, ведь график в условии задаёт потенциальную энергию от координаты, и все значения берутся прямо с него, без пересчёта.

Полная энергия. Энергия взаимодействия с Землёй — это потенциальная энергия. В точке А по графику она равна 2 Дж, кинетическая энергия тоже 2 Дж:

E = 2 + 2 = 4\ \text{Дж}.

Эта сумма одинакова везде, где бы льдинка ни оказалась.

Где льдинка может оказаться. Кинетическая энергия не бывает отрицательной, поэтому доступны только те места, где

E_{\text{п}}(x) \le 4\ \text{Дж}.

Там, где потенциальная энергия дорастает до 4 Дж, скорость обращается в ноль и льдинка поворачивает назад.

Движение влево. Льдинка проходит дно ямы, где $E_{\text{п}} = 1$ Дж и скорость наибольшая, и поднимается по левой стенке:

5\ \text{Дж} > 4\ \text{Дж}.

Левый край выше уровня полной энергии, поэтому на отметке 4 Дж льдинка остановится и заскользит вправо.

Движение вправо. На правой стенке потенциальная энергия доходит по графику только до 3,6 Дж:

3{,}6\ \text{Дж} < 4\ \text{Дж}.

В верхней точке правого края у льдинки ещё остаётся кинетическая энергия, поэтому она переходит через край.

Льдинка выскользнет из ямы, но не сразу. Сначала она вернётся от левой стенки, а выйдет через правый край.

Ответ: сможет, через правый край ямы

разбор линия 21ЕГЭ-2026, основная волна, резервный день

Во время зимнего путешествия на воздушном шаре барон Мюнхгаузен решил выбросить небольшое пушечное ядро, чтобы набрать высоту. В момент выброса ядра воздушный шар покоился относительно земли. Отпущенное из состояния покоя с высоты

H = 1

м над поверхностью снежного покрова ядро массой

m = 1

кг упало в снег, где замедлилось до полной остановки на некоторой глубине. Средняя сила сопротивления движению в воздухе равна

F_1 = 1

Н, а в снеге —

F_2 = 100

Н. Во сколько раз путь ядра в воздухе больше пути ядра в снеге? Считать, что движение ядра в воздухе равноускоренное, а движение в снеге — равнозамедленное.

Дано

$H = 1\ \text{м}$

$m = 1\ \text{кг}$

$F_1 = 1\ \text{Н}$

$F_2 = 100\ \text{Н}$

Найти

$H/s$

Ядро — материальная точка, система отсчёта связана с Землёй и инерциальна. Шар в момент выброса покоится, поэтому и ядро начинает падать с нулевой скоростью.

Какие силы работают. На ядро действуют сила тяжести и сила сопротивления. Движение на каждом участке равнопеременное, значит сопротивление там постоянно и его работа равна произведению силы на путь.

Работа всех сил равна изменению кинетической энергии. Ядро и начинает, и заканчивает движение в покое, поэтому вся сумма работ равна нулю:

A = \Delta E_{\text{к}} = 0.

Куда направить ось. Ось направим вниз, по движению. Тогда работа силы тяжести положительна на всём пути, обе силы сопротивления идут против оси и входят со знаком минус, и модулей в записи не появляется.

Обозначим путь в снеге $s$ . Сила тяжести работает на всём пути $H + s$ , сопротивление воздуха — только на $H$ , сопротивление снега — только на $s$ :

mg(H + s) - F_1 H - F_2 s = 0.

Соберём слагаемые с $H$ и с $s$ :

\begin{aligned} H(mg - F_1) &= s(F_2 - mg), \\ \frac{H}{s} &= \frac{F_2 - mg}{mg - F_1}. \end{aligned}

Все величины в СИ, переводить ничего не нужно:

\frac{H}{s} = \frac{100 - 10}{10 - 1} = 10.

Путь ядра в воздухе больше пути в снеге в 10 раз, то есть в снегу ядро прошло 10 см.

Через ускорения на двух участках получается то же самое, но с промежуточным шагом — скоростью ядра у поверхности снега. Баланс работ связывает начало и конец движения и без неё.

Ответ: в 10 раз

разбор линия 26ЕГЭ-2022, основная волна

На горизонтальной поверхности неподвижно закреплена абсолютно гладкая полусфера радиусом

R = 2{,}5

м. С её верхней точки из состояния покоя соскальзывает маленькое тело. В некоторой точке тело отрывается от сферы и летит свободно. Найдите скорость тела в момент отрыва от сферы. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

Дано

$R = 2{,}5\ \text{м}$

$v_0 = 0$

Найти

$v$

Тело и система отсчёта. Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Тело маленькое, поэтому его можно считать материальной точкой.

Энергия сохраняется. Полусфера гладкая и неподвижная, трения нет, а сила нормальной реакции перпендикулярна скорости и работы не совершает. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, и работает только потенциальная сила тяжести.

Почему одного закона мало. Сохранение энергии связывает скорость с высотой, но не говорит, где кончается сфера. Пока тело на ней, оно идёт по окружности радиуса $R$ , и второй закон Ньютона в проекции на радиус даёт центростремительное ускорение:

a = \frac{v^2}{R}.

Что такое отрыв. В момент отрыва тело перестаёт давить на сферу, и сила нормальной реакции обращается в ноль. Это условие и замыкает систему:

N = 0.

Зададим его углом $\alpha$ между вертикалью и радиусом, проведённым к телу.

Точка отсчёта высоты. Нулевой уровень возьмём на горизонтальной поверхности, то есть на уровне центра сферы. Тогда высота вершины равна $R$ , высота точки отрыва — $R\cos\alpha$ , и лишних постоянных в законе не остаётся.

Сохранение энергии между вершиной и точкой отрыва:

mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR\cos\alpha.

Второй закон Ньютона в проекции на радиус, к центру сферы:

mg\cos\alpha - N = \frac{mv^2}{R}.

Угол отрыва. При $N = 0$ второе уравнение даёт $v^2 = gR\cos\alpha$ , первое — $v^2 = 2gR(1 - \cos\alpha)$ . Приравняем правые части:

\begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{2}{3}, \\ v &= \sqrt{\frac{2gR}{3}}. \end{aligned}

Считаем:

v = \sqrt{\frac{2\cdot 10\cdot 2{,}5}{3}} \approx 4{,}1\ \text{м/с}.

Масса в ответ не вошла, а место отрыва от радиуса не зависит, тело всегда покидает сферу на высоте $2R/3$ над её центром.

Ответ: ≈ 4,1 м/с

06сводка

Формулы и типичные ошибки

Задачи этой темы почти всегда решаются короче через энергию, чем через силы. Главное — не забыть про знаки работы и про тепло, если в условии есть трение.

A = F s \cos\alpha

работа постоянной силы

E_{\text{к}} = \dfrac{mv^2}{2}

кинетическая энергия

E_{\text{п}} = mgh,\ \ E_{\text{п}} = \dfrac{kx^2}{2}

потенциальная: тяжести и упругости

A = \Delta E_{\text{к}}

теорема о кинетической энергии

P = \dfrac{A}{t} = F v

мощность

\eta = \dfrac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}

КПД

Где теряют баллы

Работа считается как F·s без учёта угла.

Работу совершает составляющая вдоль перемещения, поэтому в формулу входит косинус угла между силой и путём.

Работа силы тяжести при подъёме положительна.

Сила направлена вниз, перемещение вверх — работа отрицательна и равна −mgh.

Механическая энергия сохраняется всегда.

Только когда работу совершают потенциальные силы, а трение переводит её в тепло.

Энергия пружины равна kx.

kx — это сила, а энергия равна площади под графиком, то есть kx²/2.

Мощность зависит только от силы.

P = F·v, поэтому при той же силе быстрее движение даёт больше мощности.

задачи

Проверьте себя

Посчитайте, впишите ответ и нажмите «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Где нужно определить характер изменения величин, впишите цифры подряд, как в бланке. Всюду $g = 10$ м/с².

\begin{aligned} A &= F s\cos\alpha, \quad E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}, \\ E_{\text{п}} &= mgh, \quad E_{\text{п}} = \frac{kx^2}{2}. \end{aligned}

В первой серии опытов брусок с грузом перемещали при помощи нити равномерно и прямолинейно вверх по наклонной плоскости. Во второй серии опытов точно так же перемещали этот брусок, но сняв с него груз. Как изменились при переходе от первой серии опытов ко второй модуль работы силы трения при перемещении бруска на одинаковые расстояния и коэффициент трения между бруском и плоскостью? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличилась; 2) уменьшилась; 3) не изменилась. Запишите выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

ЕГЭ-2020, досрочная волна

цифры

Разбор

Решение

Поперёк плоскости брусок не движется, поэтому сила нормальной реакции уравновешивает составляющую силы тяжести: $N = mg\cos\alpha$ . Груз сняли — масса и вместе с ней $N$ уменьшились, а сила трения скольжения $\mu N$ пропорциональна реакции.

|A_{\text{тр}}| = \mu m g\cos\alpha\cdot s.

Путь тот же, поэтому модуль работы уменьшился — цифра 2. Коэффициент трения зависит от того, из чего сделаны брусок и плоскость, а не от массы, — цифра 3.

Ответ: 23

Тело массой 50 г падает на землю с высоты 2 м из состояния покоя. Какую кинетическую энергию имеет камень перед ударом о землю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ запишите в джоулях.

ЕГЭ-2024, основная волна, резервный день, Центр

E =Дж

Разбор

Решение

Сопротивления нет, и потенциальная энергия целиком переходит в кинетическую:

\begin{aligned} E_{\text{к}} &= mgh \\ &= 0{,}05\cdot 10\cdot 2 = 1\ \text{Дж}. \end{aligned}

Ответ: 1 Дж

Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли, достиг максимальной высоты 5 м. С какой начальной скоростью камень был брошен вверх? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ запишите в метрах в секунду.

ЕГЭ-2024, основная волна, резервный день, Урал и Сибирь

v =м/с

Разбор

Решение

В верхней точке скорость равна нулю, и вся начальная кинетическая энергия стала потенциальной:

\begin{gathered} \frac{mv^2}{2} = mgh, \\ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{100} = 10\ \text{м/с}. \end{gathered}

Масса сократилась, поэтому её и не дали в условии.

Ответ: 10 м/с

Шарик массой 100 г падает с высоты 100 м с начальной скоростью, равной нулю. Чему равна его кинетическая энергия в момент перед падением на землю, если потеря энергии за счёт сопротивления воздуха составила 20 Дж? Ответ дайте в джоулях.

Демоверсия ЕГЭ-2019

E =Дж

Разбор

Решение

Начальная потенциальная энергия делится между кинетической энергией у земли и потерей на сопротивление:

\begin{aligned} mgh &= 0{,}1\cdot 10\cdot 100 = 100\ \text{Дж}, \\ E_{\text{к}} &= mgh - Q \\ &= 100 - 20 = 80\ \text{Дж}. \end{aligned}

Ответ: 80 Дж

При упругой деформации, равной 3 см, потенциальная энергия пружины равна 6 Дж. На сколько изменится потенциальная энергия этой пружины при увеличении упругой деформации ещё на 3 см? Ответ запишите в джоулях.

ЕГЭ-2025, досрочная волна

ΔE =Дж

Разбор

Решение

Энергия пружины пропорциональна квадрату деформации. Деформация выросла с 3 до 6 см, вдвое, значит энергия выросла вчетверо:

\begin{aligned} E_2 &= 4E_1 = 24\ \text{Дж}, \\ \Delta E &= 24 - 6 = 18\ \text{Дж}. \end{aligned}

Типичная ошибка — ответ 6 Дж. Так было бы, если бы энергия росла пропорционально деформации, как сила.

Ответ: 18 Дж

Автомобиль с выключенным двигателем сняли со стояночного тормоза, и он покатился под уклон, составляющий угол 30° к горизонту. Проехав 10 м, он попадает на горизонтальный участок дороги. Чему равна скорость автомобиля в начале горизонтального участка дороги? Трением пренебречь. Ответ приведите в метрах в секунду.

ЕГЭ-2020, досрочная волна

v =м/с

Разбор

Решение

За 10 м по склону автомобиль опустился на $h = 10\sin 30^\circ = 5$ м. Трения нет:

\begin{aligned} mgh &= \frac{mv^2}{2}, \\ v &= \sqrt{2gh} = 10\ \text{м/с}. \end{aligned}

Угол нужен только для того, чтобы найти высоту, а форма пути на скорость не влияет.

Ответ: 10 м/с

Шайбу с начальной кинетической энергией

E_{\text{к}} = 450

Дж толкают вверх по гладкой горке, она поднимается на максимальную высоту

h = 3

м. Определите массу шайбы. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ дайте в килограммах.

ЕГЭ-2026, основная волна, Центр

m =кг

Разбор

Решение

Горка гладкая, и на максимальной высоте вся кинетическая энергия стала потенциальной:

\begin{aligned} E_{\text{к}} &= mgh, \\ m &= \frac{E_{\text{к}}}{gh} = \frac{450}{10\cdot 3} = 15\ \text{кг}. \end{aligned}

Ответ: 15 кг

Спортсмен спускается на парашюте с постоянной скоростью. Как изменяются с течением времени в процессе спуска импульс спортсмена и его потенциальная энергия? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется. Запишите выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Демоверсия ЕГЭ-2023

цифры

Разбор

Решение

Скорость постоянна, масса тоже, поэтому импульс $mv$ не меняется — цифра 3. Высота уменьшается, и потенциальная энергия $mgh$ уменьшается — цифра 2.

Кинетическая энергия при этом постоянна, значит механическая энергия убывает, сопротивление воздуха переводит её во внутреннюю.

Ответ: 32

Задачи второй части

Обе задачи — из номеров 26. В них короткое событие, разрыв снаряда или попадание пули, сменяется движением, для которого записывается баланс энергии.

Импульс системы за это короткое событие сохраняется, а механическая энергия — нет, и в обосновании нужно объяснить, почему. На экзамене решение записывается целиком, поэтому в разборе расписан каждый шаг.

При разрыве снаряда суммарная энергия системы увеличивается за счёт энергии взрыва. На сколько изменится суммарная энергия системы, если снаряд массой

M = 9

кг, летящий со скоростью 250 м/с, разорвётся на две части, первая продолжит движение по направлению движения снаряда со скоростью 900 м/с, а вторая — в обратном направлении? Считать, что массы первой и второй части снаряда равны

\dfrac{M}{3}

\dfrac{2M}{3}

соответственно. Обоснуйте применение физических законов, использованных при решении задачи.

ЕГЭ-2025, основная волна, Юг

ΔE =кДж

Разбор

Решение

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Снаряд и осколки движутся поступательно, их можно считать материальными точками.

Разрыв длится очень короткое время. Внешние силы — тяжести и сопротивления воздуха — за это время почти не меняют импульс системы, а внутренние силы взрыва не меняют его вовсе, поэтому импульс системы сохраняется.

Её увеличивает работа сил взрыва, и механическая энергия при разрыве не сохраняется. Положение осколков за время разрыва измениться не успевает, поэтому меняется только кинетическая часть:

\Delta E = \Delta E_{\text{к}}.

Выбор оси. Ось направим по скорости снаряда, тогда первая часть входит со знаком плюс, вторая со знаком минус, и векторов в записи не остаётся. Через $u$ обозначим модуль скорости второй части.

Закон сохранения импульса в проекции на эту ось:

Mv = \frac{M}{3}\,v_1 - \frac{2M}{3}\,u.

Изменение энергии системы:

\begin{aligned} \Delta E &= \frac{M}{3}\cdot\frac{v_1^2}{2} + \frac{2M}{3}\cdot\frac{u^2}{2} \\ &\quad - \frac{Mv^2}{2}. \end{aligned}

Скорость второй части. В законе сохранения импульса масса сокращается:

u = \frac{v_1 - 3v}{2}.

Подставляем числа:

u = \frac{900 - 750}{2} = 75\ \text{м/с}.

Кинетические энергии частей после разрыва и снаряда до него:

\begin{aligned} E_1 &= \frac{3\cdot 900^2}{2} = 1\,215\,000\ \text{Дж}, \\ E_2 &= \frac{6\cdot 75^2}{2} = 16\,875\ \text{Дж}, \\ E_0 &= \frac{9\cdot 250^2}{2} = 281\,250\ \text{Дж}. \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta E &= E_1 + E_2 - E_0 \\ &= 950\,625\ \text{Дж}. \end{aligned}

Энергия системы увеличилась на 950 625 Дж, то есть примерно на 0,95 МДж.

Ответ: 950 625 Дж ≈ 951 кДж

В маленький шар массой

M = 250

г, висящий на нити длиной

l = 50

см, попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля массой

m = 10

г. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.

ЕГЭ-2022, основная волна

v =м/с

Разбор

Решение

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной, а шар и пулю считаем материальными точками.

Удар. Он короткий, а внешние силы во время удара — тяжести и натяжения нити — вертикальны. Поэтому горизонтальная проекция импульса системы «пуля и шар» сохраняется:

mv_0 = (M + m)\,u.

Удар неупругий, часть энергии уходит во внутреннюю, и закон сохранения механической энергии к самому удару не применяется.

Подъём после удара. На шар с пулей действуют сила тяжести — она потенциальная — и сила натяжения нити, перпендикулярная скорости. Работы натяжение не совершает, значит механическая энергия сохраняется.

Точка отсчёта высоты. Нулевой уровень возьмём в нижней точке, подъём до верхней равен $2l$ , и высота входит в баланс одним слагаемым. Обе части уравнения сокращаем на $M + m$ :

\frac{u^2}{2} = \frac{V^2}{2} + 2gl.

Верхняя точка. Шар идёт по окружности, и для него выполняется второй закон Ньютона с центростремительным ускорением. Минимальной скорости пули отвечает нулевое натяжение нити наверху, и тогда вес целиком идёт на поворот:

g = \frac{V^2}{l}.

Из третьего уравнения $V^2 = gl$ , из второго $u^2 = 5gl$ , из первого

v_0 = \frac{M + m}{m}\sqrt{5gl}.

Подстановка.

\begin{aligned} v_0 &= \frac{260}{10}\cdot\sqrt{5\cdot 10\cdot 0{,}5} \\ &= 26\cdot 5 = 130\ \text{м/с}. \end{aligned}

Условие нулевого натяжения — особенность нити. Если бы шар висел на лёгком стержне, он мог бы пройти верхнюю точку и с нулевой скоростью, и хватило бы $u^2 = 4gl$ .

Ответ: 130 м/с

Через энергию задача решается короче, чем через силы и ускорения.

В Компендиуме разбираем темы ЕГЭ по физике так, чтобы за формулой был виден её вывод.

залетай в Академию→