Моменты и равновесие

01постановка

Плечо и момент силы

Тело в равновесии не только не разгоняется, но и не поворачивается. За первое отвечает сумма сил, за второе — новая величина, момент силы. Она показывает, насколько сила способна повернуть тело вокруг выбранной оси.

M = F d.

Здесь $d$ — плечо, длина перпендикуляра, опущенного из оси на линию действия силы. Именно перпендикуляра, а не расстояния до точки приложения — это разные вещи, как только сила перестаёт быть перпендикулярной рычагу. Если сила приложена под углом $\alpha$ к рычагу длиной $L$ , плечо равно $L\sin\alpha$ , и момент записывается так:

M = F L \sin\alpha.

Сила40 НДлина рычага0,50 мУгол к рычагу60°

плечо0,43 ммомент17,3 Н·мдоля от максимума0,87

Момент наибольший при 90° и обращается в ноль, когда сила направлена вдоль рычага, ведь плечо становится нулевым, хотя сила осталась прежней.

Отсюда два крайних случая. При $\alpha = 90^\circ$ момент наибольший, вся сила работает на поворот. При силе, направленной вдоль рычага, плечо обращается в ноль вместе с моментом, и такая сила только растягивает или сжимает рычаг.

Моменты, поворачивающие тело в разные стороны, принято считать с разными знаками. Тогда условие равновесия по вращению записывается одной строкой, где сумма моментов равна нулю. Ось при этом выбирают произвольно, ведь у покоящегося тела равенство выполняется относительно любой точки. Этим и пользуются, ставя ось туда, где сидит неизвестная сила, чтобы она ушла из уравнения.

02механизмы

Рычаг и блоки

Рычаг уравновешен, когда моменты сил относительно опоры равны. Для двух сил по разные стороны это и есть школьное правило рычага:

F_1 d_1 = F_2 d_2.

Из него сразу видно, зачем рычаг нужен. Маленькая сила на длинном плече уравновешивает большую на коротком, и выигрыш в силе равен отношению плеч.

Левый груз3,0 кгЛевое плечо0,40 мПравый груз1,0 кгПравое плечо1,20 м

момент слева—момент справа—рычаг—

Равновесие наступает при равенстве моментов, а не сил, и лёгкий груз на длинном плече уравновешивает тяжёлый на коротком.

Откуда берётся правило

Его можно получить, не вводя момент вовсе — через работу. Повернём рычаг на маленький угол. Точка на плече $d_1$ опустится на $s_1$ , точка на плече $d_2$ поднимется на $s_2$ , и эти пути относятся так же, как плечи, ведь дальняя точка описывает большую дугу.

\frac{s_1}{s_2} = \frac{d_1}{d_2}.

Рычаг не прибавляет энергии, поэтому работа одной силы равна работе другой: $F_1 s_1 = F_2 s_2$ . Подставим сюда отношение путей — и получится ровно правило рычага:

F_1 d_1 = F_2 d_2.

Выигрыш в силе оплачивается путём.

Во сколько раз рычаг или блок уменьшает силу, во столько же раз увеличивается путь, который приходится пройти точке приложения. Работа при этом не меняется, это и называют золотым правилом механики.

С блоками то же самое. Неподвижный блок не даёт выигрыша в силе, ведь плечи по обе стороны равны его радиусу, и меняется только направление тяги, а тянуть вниз удобнее, чем поднимать вверх. Подвижный блок делит силу пополам, зато верёвки приходится вытягивать вдвое больше.

Вес груза200 НВысота подъёма2,0 м

нужна сила—выигрыш в силе—вытянуть верёвки—

Сколько ветвей каната держат груз, во столько раз меньше сила. Верёвки при этом придётся вытянуть во столько же раз больше.

разбор линия 4ЕГЭ-2026, основная волна, Дальний Восток

Невесомый рычаг находится в равновесии. Сила

F_1 = 18

Н, её плечо

l_1 = 21

см. Каков модуль силы

F_2

, если её плечо

l_2 = 14

см? Ответ дайте в Н.

Дано

$F_1 = 18\ \text{Н}$

$l_1 = 21\ \text{см}$

$l_2 = 14\ \text{см}$

Найти

$F_2$

Рычаг невесомый, поэтому силы тяжести у него нет. К левому концу приложена $F_1$ , к правому — $F_2$ , обе направлены вниз, а снизу в точке опоры O рычаг подпирает реакция.

Считаем моменты относительно O. Реакция опоры приложена ровно в этой точке, её плечо равно нулю — неизвестная реакция в уравнение не войдёт.

Моменты двух оставшихся сил вращают рычаг в разные стороны, и в равновесии они равны:

F_1 l_1 = F_2 l_2 \Longrightarrow F_2 = \frac{F_1 l_1}{l_2}.

Плечи в сантиметрах переводить не обязательно, в формулу входит их отношение.

F_2 = \frac{18\ \text{Н}\cdot 21\ \text{см}}{14\ \text{см}} = 27\ \text{Н}.

Плечо второй силы в полтора раза короче, поэтому и сила в полтора раза больше.

Ответ: 27 Н

03равновесие

Два условия равновесия

Тело покоится, если выполняются оба условия сразу:

\sum \vec F = 0, \qquad \sum M = 0.

Первое запрещает поступательное движение, второе вращение. Одного мало. Доску, которую тянут за концы в разные стороны равными силами, первое условие удерживает, а второе нарушено, и доска крутится.

На экзамене чаще всего встречается балка на двух опорах. Порядок решения такой. Записываем сумму моментов относительно одной опоры, и реакция этой опоры в уравнение не войдёт, потому что её плечо равно нулю. Так находится реакция второй, а первая получается из суммы сил.

Длина балки4,0 мВес балки200 НВес груза400 НГруз от левой опоры1,0 м

левая опора—правая опора—сумма—

Сумма реакций всё время равна общему весу — это первая проверка ответа. Двигай груз к опоре, и её стрелка вытягивается, а у дальней укорачивается.

сумма реакций всегда равна общему весу, и это проверка ответа за пять секунд

разбор линия 26Демоверсия ЕГЭ-2020

Два небольших шара массами

m_1 = 0{,}2

кг и

m_2 = 0{,}3

кг закреплены на концах невесомого стержня AB, расположенного горизонтально на опорах C и D (см. рис.). Расстояние между опорами

l = 0{,}6

м, а расстояние AC равно 0,2 м. Чему равна длина стержня L, если сила давления стержня на опору D в 2 раза больше, чем на опору C? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень — шары». Какие законы Вы используете для описания равновесия тела? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Дано

$m_1 = 0{,}2\ \text{кг}$

$m_2 = 0{,}3\ \text{кг}$

$l = CD = 0{,}6\ \text{м}$

$AC = 0{,}2\ \text{м}$

$P_D = 2P_C$

Найти

$L$

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Стержень с шарами описываем моделью абсолютно твёрдого тела, у которого расстояния между точками не меняются.

Движение твёрдого тела складывается из поступательного и вращательного, поэтому условий равновесия два. По третьему закону Ньютона сила давления стержня на опору равна по модулю силе реакции этой опоры.

\sum \vec F = 0, \qquad \sum M = 0.

На систему действуют силы тяжести $m_1 g$ в точке A и $m_2 g$ в точке B, обе направлены вертикально вниз. Снизу вверх на стержень давят реакции опор $N_C$ в точке C и $N_D$ в точке D, причём по условию $N_D = 2N_C$ .

Первое условие равновесия в проекции на вертикаль даёт реакцию ближней опоры:

\begin{aligned} N_C + 2N_C &= (m_1 + m_2)\,g, \\ N_C &= \frac{(m_1 + m_2)\,g}{3}. \end{aligned}

Моменты считаем относительно конца стержня A. Плечо силы тяжести первого шара относительно неё равно нулю, поэтому эта сила из уравнения выпадает, и в нём остаётся одна неизвестная — искомая длина.

Плечи остальных сил отсчитываем от A. Опора C стоит на расстоянии $AC$ , опора D на расстоянии $AC + l$ , второй шар на длине L. Реакции опор вращают стержень в одну сторону, вес второго шара в другую:

N_C\cdot AC + 2N_C\,(AC + l) = m_2 g L.

Подставим сюда реакцию и выразим длину в общем виде:

L = \frac{(m_1 + m_2)\,(3\,AC + 2l)}{3 m_2}.

Теперь числа с единицами:

L = \frac{(0{,}2 + 0{,}3)\ \text{кг}\cdot(3\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}6)\ \text{м}}{3\cdot 0{,}3\ \text{кг}} = 1\ \text{м}.

Опора D нагружена сильнее, потому что к ней ближе более тяжёлый шар.

Ответ: 1 м

04устойчивость

Центр тяжести и опрокидывание

Центр тяжести — точка, к которой можно считать приложенной всю силу тяжести тела. У однородных тел простой формы он совпадает с центром симметрии, у стержня это середина, у диска центр, у прямоугольной плиты точка пересечения диагоналей. Поэтому в задачах силу тяжести однородного стержня, линейки или доски прикладывают к их середине.

Найти центр тяжести плоской фигуры можно и опытом. Подвесьте её последовательно за две разные точки и отметьте вертикали, они пересекутся в искомой точке. Причина в том же условии равновесия, ведь подвешенное тело поворачивается, пока момент силы тяжести относительно точки подвеса не обратится в ноль.

M = mg\,d = 0 \Longrightarrow d = 0.

Плечо d здесь — расстояние по горизонтали от точки подвеса до центра тяжести. Обратиться в ноль оно может только одним способом, когда центр тяжести встаёт ровно под точкой подвеса.

Отсюда же следует и устойчивость. Подвешенное тело устойчиво, когда центр тяжести ниже точки подвеса, ведь при отклонении возникает момент, возвращающий тело назад. Если центр тяжести выше, равновесие неустойчиво, и любое отклонение уводит тело дальше.

Угол наклона18°Ширина основания0,60 мВысота бруска1,20 мКоэффициент трения0,45

брусок—поедет при—опрокинется при—

Розовый отвес идёт из центра тяжести. Пока он попадает в основание, брусок стоит, а как только выходит за ребро, опрокидывается. Высокий и узкий брусок опрокинется раньше, чем поедет.

Стоящее тело опрокидывается, когда вертикаль, проведённая через центр тяжести, выходит за площадь опоры. Для бруска с основанием $b$ и высотой $h$ на наклонной плоскости это даёт условие

\operatorname{tg}\alpha > \frac{b}{h}.

Высокий и узкий брусок опрокинется раньше, чем начнёт скользить, а низкий и широкий сначала поедет. Что случится первым, решает сравнение двух порогов, $b/h$ для опрокидывания и $\mu$ для скольжения.

устойчивость — это про то, куда смещается центр тяжести при отклонении

05вторая часть

Разбор второй части

Во второй части одного числа мало, решение записывается целиком, и эксперт проверяет каждый его шаг. Нужно назвать модель и систему отсчёта, записать законы, из которых следует ответ, получить формулу в общем виде и только потом подставить числа. В задаче 26 к решению добавляется обоснование, то есть объяснение, почему выбранные законы применимы именно в этой ситуации. За него ставят отдельный балл.

В статике обоснование почти всегда строится из одних и тех же частей: инерциальная система отсчёта, модель абсолютно твёрдого тела и два условия равновесия. Писать его всё равно нужно применительно к своей задаче: какие силы действуют, почему нить тянет вдоль себя, почему гладкая стенка давит перпендикулярно. Ниже три задачи из разных вариантов, разобранные так, как их ждёт эксперт.

разбор линия 22ЕГЭ-2021, основная волна

Деревянная линейка длиной

l = 90

см выдвинута за край стола на

\tfrac{1}{4}

часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на её правом конце лежит груз массой не более

m_1 = 250

г. Далее линейку выдвинули вправо за край стола на некоторое расстояние и положили на её правый конец груз массой

m_2 = 125

г. На какое расстояние дополнительно можно выдвинуть линейку во втором опыте, чтобы она не перевернулась?

Дано

$l = 90\ \text{см}$

$a_1 = l/4$

$m_1 = 250\ \text{г}$

$m_2 = 125\ \text{г}$

Найти

$\Delta x$

Линейку считаем абсолютно твёрдым телом, а систему отсчёта, связанную со столом, — инерциальной. Линейка однородная, поэтому её сила тяжести приложена в середине.

На линейку действуют её собственный вес $Mg$ в середине, вес груза на свисающем конце и реакция стола. Массу линейки в условии не дали, и получить её придётся из первого опыта.

В предельном положении линейка вот-вот начнёт поворачиваться вокруг края стола, и стол давит на неё только в этой точке. Возьмём моменты относительно края, тогда плечо реакции равно нулю и неизвестная реакция из уравнения уйдёт.

\sum M = 0 \quad \text{относительно края стола}.

В первом опыте за краем лежит четверть линейки, поэтому плечо груза равно $l/4$ . Середина линейки отстоит от её конца на $l/2$ , то есть лежит по другую сторону края и тоже на расстоянии $l/4$ .

\begin{aligned} m_1 g\cdot\frac{l}{4} &= Mg\cdot\frac{l}{4}, \\ M &= m_1 = 250\ \text{г}. \end{aligned}

Во втором опыте за краем находится отрезок x. Плечо груза равно x, а плечо веса линейки — $l/2 - x$ , потому что середина осталась на столе.

\begin{aligned} m_2 g x &= Mg\left(\frac{l}{2} - x\right), \\ x &= \frac{Ml}{2\,(M + m_2)}. \end{aligned}

Подставим числа с единицами:

x = \frac{250\ \text{г}\cdot 90\ \text{см}}{2\cdot(250 + 125)\ \text{г}} = 30\ \text{см}.

В первом опыте за краем было $l/4 = 22{,}5$ см, поэтому выдвинуть дополнительно можно на

\Delta x = 30\ \text{см} - 22{,}5\ \text{см} = 7{,}5\ \text{см}.

С вдвое более лёгким грузом за краем стола помещается уже треть линейки, а не четверть.

Ответ: 7,5 см

разбор линия 26ЕГЭ-2023, основная волна, Урал

На шероховатой наклонной плоскости покоится цилиндр. К верхней части цилиндра по касательной прикреплена параллельная наклонной плоскости невесомая нерастяжимая нить, другой конец которой закреплён на вертикальной стене. Масса цилиндра 1 кг, радиус его основания 20 см, коэффициент трения цилиндра о наклонную плоскость 0,5. Определить предельный угол

\alpha

, при котором цилиндр будет находиться в равновесии. Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Дано

$m = 1\ \text{кг}$

$R = 20\ \text{см}$

$\mu = 0{,}5$

Найти

$\alpha_{\max}$

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Цилиндр описываем моделью абсолютно твёрдого тела, движение которого складывается из поступательного и вращательного.

Поэтому условий равновесия два. Векторная сумма сил равна нулю, и сумма их моментов относительно любой оси равна нулю. Нить невесомая, значит, натяжение направлено вдоль неё, то есть параллельно плоскости.

\sum \vec F = 0, \qquad \sum M = 0, \qquad F_{\text{тр}} \le \mu N.

Сила трения покоя не превосходит $\mu N$ , а в предельном положении равна этому значению, и этот предел задаёт искомый угол.

На цилиндр давит сила тяжести $mg$ в центре, тянет натяжение нити T в верхней точке, а в точке касания A приложены нормальная реакция N и сила трения $F_{\text{тр}}$ .

Относительно центра цилиндра момент натяжения может уравновесить только трение, поэтому трение направлено вверх вдоль плоскости, как и нить.

Ось возьмём в точке касания A. Реакция и трение приложены прямо в ней, их плечи равны нулю, и из трёх неизвестных в уравнении остаётся одно натяжение.

Плечо натяжения равно диаметру 2R, ведь нить идёт по касательной через верхнюю точку. Плечо силы тяжести — это расстояние по горизонтали от A до вертикали через центр, то есть $R\sin\alpha$ .

\begin{aligned} mg\,R\sin\alpha &= T\cdot 2R, \\ T &= \frac{mg\sin\alpha}{2}. \end{aligned}

Второй закон Ньютона при нулевом ускорении в проекциях на ось вдоль плоскости и на перпендикулярную ей:

\begin{aligned} T + F_{\text{тр}} &= mg\sin\alpha, \\ N &= mg\cos\alpha. \end{aligned}

Отсюда трение тоже равно половине скатывающей силы: $F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha/2$ . С ростом угла оно растёт, а наибольшее возможное трение покоя $\mu mg\cos\alpha$ убывает. Предельный угол — тот, при котором они сравниваются:

\begin{aligned} \frac{mg\sin\alpha}{2} &= \mu mg\cos\alpha, \\ \operatorname{tg}\alpha &= 2\mu. \end{aligned}

Подставим число:

\operatorname{tg}\alpha = 2\cdot 0{,}5 = 1, \qquad \alpha_{\max} = 45^\circ.

При большем угле цилиндр начнёт сползать, разматывая нить. Масса и радиус в ответ не вошли, ведь скатывающая сила и предельное трение пропорциональны массе, а радиус сократился в правиле моментов.

Ответ: 45°

разбор линия 26ЕГЭ-2023, основная волна

В гладкий высокий стакан радиусом 4 см поставили однородную тонкую палочку длиной 10 см и массой 0,9 г, после чего в стакан налили до высоты 4 см жидкость, плотность которой составляет 0,75 плотности материала палочки. Найдите модуль силы

\vec F

, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку.

Дано

$R = 4\ \text{см}$

$l = 10\ \text{см}$

$m = 0{,}9\ \text{г}$

$h = 4\ \text{см}$

$\rho_{\text{ж}} = 0{,}75\rho$

Найти

$F$

Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Палочку описываем моделью абсолютно твёрдого тела, поэтому в равновесии равны нулю и сумма сил, и сумма их моментов.

Стакан гладкий, трения нет, и стенка действует на верхний конец палочки силой, перпендикулярной стенке, то есть горизонтальной. Жидкость покоится, поэтому на погружённую часть действует сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости.

F_A = \rho_{\text{ж}}\, g\, V_{\text{погр}}.

Палочка однородная и тонкая, поэтому сила Архимеда приложена в середине погружённой части, а сила тяжести — в середине всей палочки.

Нижний конец A стоит на дне у одной стенки, верхний конец B упирается в противоположную. По горизонтали палочка перекрывает диаметр стакана, поэтому верхний конец находится на высоте

\begin{aligned} H &= \sqrt{l^2 - 4R^2} \\ &= \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \text{см}. \end{aligned}

К середине палочки приложена сила тяжести $mg$ , к середине погружённой части — сила Архимеда $F_A$ , в точке B стенка давит горизонтальной силой N, а в точке A на палочку действуют дно и стенка.

Искомая сила давления на стенку по третьему закону Ньютона равна N. Жидкость налита до высоты h, поэтому погружена доля палочки $h/H$ , а объём всей палочки равен $V = m/\rho$ .

F_A = 0{,}75\rho g\cdot\frac{h}{H}\,V = 0{,}75\,mg\,\frac{h}{H}.

Ось возьмём в нижнем конце A. В нём приложены сразу две неизвестные силы, со стороны дна и со стороны стенки, и обе выпадают из уравнения вместе со своими нулевыми плечами.

Горизонтальные расстояния от A пропорциональны расстояниям вдоль палочки, так что середина палочки отстоит от A по горизонтали на R, а середина погружённой части на $Rh/H$ . Плечо горизонтальной силы N — это высота H.

NH = mgR - F_A\cdot\frac{Rh}{H}.

Подставим силу Архимеда и получим ответ в общем виде:

N = \frac{mgR}{H}\left(1 - 0{,}75\,\frac{h^2}{H^2}\right).

Подставляем числа, где $mg = 9\cdot 10^{-3}$ Н, а отношение $h/H$ равно $4/6 = 2/3$ .

\begin{aligned} N &= \frac{9\cdot 10^{-3}\ \text{Н}\cdot 4\ \text{см}}{6\ \text{см}}\left(1 - 0{,}75\cdot\frac{4}{9}\right) \\ &= 6\cdot 10^{-3}\ \text{Н}\cdot\frac{2}{3} = 4\cdot 10^{-3}\ \text{Н} = 4\ \text{мН}. \end{aligned}

В пустом стакане палочка давила бы на стенку с силой 6 мН. Жидкость выталкивает нижнюю часть палочки вверх и уменьшает момент, который прижимает верхний конец к стенке.

Ответ: 4 мН

06сводка

Формулы и типичные ошибки

Статика короче динамики, в ней две формулы и два условия. Сложность в другом: надо правильно найти плечи и не забыть про вес самого тела.

M = F d

момент силы, где d — плечо

d = L\sin\alpha

плечо силы под углом к рычагу

F_1 d_1 = F_2 d_2

правило рычага

\sum \vec F = 0,\ \ \sum M = 0

два условия равновесия

F = \dfrac{P}{2n}

n подвижных блоков

A = F s = \text{const}

золотое правило механики

Где теряют баллы

Плечо — это расстояние от оси до точки приложения силы.

Плечо — перпендикуляр от оси к линии действия силы, при угле α оно равно L·sinα.

Рычаг уравновешен, когда равны силы.

Уравновешены моменты, поэтому сила на длинном плече может быть во много раз меньше.

Вес балки прикладывают к её краю или к точке опоры.

У однородной балки вес приложен в середине, там её центр тяжести.

Неподвижный блок даёт выигрыш в силе вдвое.

Он только меняет направление тяги, вдвое выигрывает подвижный.

Достаточно, чтобы сумма сил была равна нулю.

Нужно и равенство нулю суммы моментов, иначе тело будет вращаться.

задачи

Проверь себя

Посчитай, впиши ответ и нажми «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Все задачи взяты из вариантов ЕГЭ и демоверсий, всюду $g = 10$ м/с².

M = F d,\quad F_1 d_1 = F_2 d_2,\quad \sum M = 0.

На рычаг действуют две силы. Момент первой силы относительно оси вращения рычага равен 50 Н·м. Какова величина второй силы, если её плечо относительно этой же оси равно 0,5 м и рычаг при этом находится в равновесии? Ответ запишите в ньютонах.

Демоверсия ЕГЭ-2022

F =Н

Разбор

Решение

В равновесии моменты двух сил равны, поэтому момент второй силы тоже 50 Н·м:

F_2 = \frac{M}{d_2} = \frac{50}{0{,}5} = 100\ \text{Н}.

Ответ: 100 Н

Рычаг находится в равновесии под действием двух сил:

F_1 = 15

Н,

F_2 = 24

Н. Плечо силы

F_2

равно 10 см. Определите плечо силы

F_1

. Ответ запишите в сантиметрах.

ЕГЭ-2024, резервный день, Центр

l₁ =см

Разбор

Решение

По правилу рычага $F_1 l_1 = F_2 l_2$ , отсюда

l_1 = \frac{F_2 l_2}{F_1} = \frac{24\cdot 10}{15} = 16\ \text{см}.

Меньшая сила стоит на большем плече.

Ответ: 16 см

Ученик выполнял лабораторную работу по исследованию условий равновесия лёгкого рычага, к которому приложены силы

F_1

F_2

. Результаты, которые он получил, представлены в таблице.

l_1

l_2

— плечи сил. Каков модуль силы

F_2

, если рычаг находится в равновесии? Ответ запишите в ньютонах.

$F_1,\ \text{Н}$	$l_1,\ \text{м}$	$F_2,\ \text{Н}$	$l_2,\ \text{м}$
$40$	$1{,}2$	$?$	$0{,}8$

ЕГЭ-2024, основная волна, Центр

F₂ =Н

Разбор

Решение

Рычаг лёгкий, его массу не учитываем. По правилу рычага:

F_2 = \frac{F_1 l_1}{l_2} = \frac{40\cdot 1{,}2}{0{,}8} = 60\ \text{Н}.

Ответ: 60 Н

Коромысло весов, к которому подвешены на нитях два груза (см. рис.), находится в равновесии. Массу первого груза увеличили в 2 раза. Во сколько раз нужно уменьшить плечо

d_1

, чтобы равновесие сохранилось? (Коромысло и нити считать невесомыми.)

Демоверсия ЕГЭ-2024

враза

Разбор

Решение

Коромысло в равновесии, пока моменты сил натяжения нитей относительно точки подвеса равны:

m_1 g\,d_1 = m_2 g\,d_2.

Правая часть не меняется, значит, произведение $m_1 d_1$ должно остаться прежним. Масса выросла вдвое — плечо нужно вдвое уменьшить.

Ответ: в 2 раза

Невесомый рычаг находится в равновесии. Левое плечо рычага равно 6 см, правое плечо равно 15 см. На правом плече подвешен груз массой 0,2 кг. Какой массы груз нужно подвесить на левом плече, чтобы рычаг оставался в равновесии? Ответ дайте в килограммах.

ЕГЭ-2026, основная волна, Центр

m =кг

Разбор

Решение

Грузы действуют на рычаг своим весом, и в правиле рычага g сокращается — сравнивать можно сразу массы:

m\cdot 6 = 0{,}2\cdot 15 \Longrightarrow m = 0{,}5\ \text{кг}.

Ответ: 0,5 кг

Человек несёт груз на лёгкой палке (см. рис.). Чтобы удержать в равновесии груз весом 80 Н, он прикладывает к концу B палки вертикальную силу 30 Н. OB = 80 см. Чему равно OA? Ответ дайте в сантиметрах.

Демоверсия ЕГЭ-2020

OA =см

Разбор

Решение

Палка опирается на плечо человека в точке O — относительно неё и считаем моменты. Груз висит в точке A, рука давит на конец B, обе силы вертикальны, поэтому их плечи — сами отрезки OA и OB:

80\cdot OA = 30\cdot 80 \Longrightarrow OA = 30\ \text{см}.

Снизу палку в точке O поддерживает сила 80 + 30 = 110 Н, ведь и вес груза, и давление руки направлены вниз, а опора уравновешивает обе силы.

Ответ: 30 см

Ученик выполнял лабораторную работу по исследованию условий равновесия рычага. Результаты, которые он получил, занесены в таблицу. Каково плечо

l_1

, если рычаг находится в равновесии? Ответ запишите в метрах.

$F_1,\ \text{Н}$	$l_1,\ \text{м}$	$F_2,\ \text{Н}$	$l_2,\ \text{м}$
$30$	$?$	$15$	$0{,}4$

ЕГЭ-2024, основная волна, Центр

l₁ =м

Разбор

Решение

По правилу рычага:

l_1 = \frac{F_2 l_2}{F_1} = \frac{15\cdot 0{,}4}{30} = 0{,}2\ \text{м}.

Первая сила вдвое больше второй, поэтому её плечо вдвое короче.

Ответ: 0,2 м

Однородная доска AC массой 2 кг и длиной 2,8 м опирается на вертикальную стенку (см. рисунок). Определите момент силы тяжести, действующей на доску, относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку B, если BC = 1,4 м. Ответ запишите в Н·м.

ЕГЭ-2024, резервный день, Урал

M =Н·м

Разбор

Решение

Сила тяжести доски приложена в её середине и направлена вертикально вниз. Плечо — горизонтальное расстояние от точки B до этой вертикали. Середина доски находится над серединой отрезка BC, поэтому плечо равно 0,7 м:

M = mg\cdot\frac{BC}{2} = 20\cdot 0{,}7 = 14\ \text{Н}\cdot\text{м}.

Если взять за плечо половину длины доски, 1,4 м, получится 28 Н·м. Это частая ошибка, ведь расстояние до точки приложения силы и плечо совпадают, только когда сила перпендикулярна отрезку.

Ответ: 14 Н·м

Задачи второй части

Здесь одного действия мало, нужно расставить силы, выбрать ось моментов и решить систему. На экзамене такие задачи требуют записанного решения с обоснованием, поэтому в разборе расписан каждый шаг.

Груз массой

M = 75

кг медленно поднимают с помощью рычага, приложив вертикальную силу

\vec F

(см. рис.). Рычаг, сделанный из однородного стержня массой

m = 10

кг и длиной

L = 4

м, шарнирно закреплён. Определите модуль силы

\vec F

, если расстояние b от оси шарнира до точки подвеса груза равно 1,6 м. Считать, что трение в шарнире отсутствует.

Демоверсия ЕГЭ-2022

F =Н

Разбор

Решение

Груз поднимают медленно, поэтому в каждый момент рычаг и груз можно считать находящимися в равновесии. Нить тогда действует на рычаг с силой, равной весу груза $Mg$ .

Моменты возьмём относительно оси шарнира, тогда сила реакции шарнира в уравнение не войдёт, а трения в шарнире нет. Остаются три силы, это вес груза на плече b, сила тяжести стержня в его середине на плече $L/2$ и сила F на конце на плече L:

FL = Mg\,b + mg\,\frac{L}{2}.

Отсюда

\begin{aligned} F &= Mg\,\frac{b}{L} + \frac{mg}{2} \\ &= 750\cdot 0{,}4 + 50 = 350\ \text{Н}. \end{aligned}

Без учёта массы рычага вышло бы 300 Н. Если рычаг при подъёме наклонится, все три плеча уменьшатся в одно и то же число раз, и ответ не изменится.

Ответ: 350 Н

К двум вертикально расположенным пружинам одинаковой длины подвесили однородный стержень длиной

L = 30

см. Если к этому стержню подвесить груз массой

m = 3

кг на расстоянии

d = 5

см от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рис.). Жёсткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня M? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил. Какие законы Вы использовали для описания равновесия системы? Обоснуйте их применимость к данному случаю.

ЕГЭ-2021, основная волна

M =кг

Разбор

Решение

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Стержень описываем моделью абсолютно твёрдого тела, поэтому в равновесии равны нулю сумма действующих на него сил и сумма их моментов относительно любой оси. Пружины лёгкие, их сила упругости подчиняется закону Гука. Груз покоится, значит, нить действует на стержень с силой, равной $mg$ .

Растяжения пружин одинаковы, обозначим их x. Жёсткость левой пружины k, правой 2k, поэтому левая действует на стержень с силой $kx$ , правая — с силой $2kx$ . Сумма сил в проекции на вертикаль:

\begin{aligned} kx + 2kx &= (M + m)\,g, \\ kx &= \frac{(M + m)\,g}{3}. \end{aligned}

Моменты возьмём относительно точки крепления правой пружины — её сила выпадет. Левая пружина действует на плече L, сила тяжести стержня — на плече $L/2$ , груз — на плече d:

kx\cdot L = Mg\,\frac{L}{2} + mg\,d.

Подставим $kx$ и соберём слагаемые с M:

\begin{aligned} \frac{(M + m)L}{3} &= \frac{ML}{2} + md, \\ M &= \frac{2m\,(L - 3d)}{L}. \end{aligned}

Длины входят отношением, поэтому переводить сантиметры в метры не нужно:

M = \frac{2\cdot 3\cdot(30 - 15)}{30} = 3\ \text{кг}.

Ответ: 3 кг

Выигрыш в силе всегда оплачивается путём — работа остаётся прежней.

В Компендиуме разбираем темы ЕГЭ по физике так, чтобы за формулой был виден её вывод.

залетай в Академию→