Почему мяч закручивается?

Штрафной с двадцати пяти метров. Мяч идёт правее ворот, мимо стенки, а на последних метрах сворачивает внутрь и заходит под штангу. Ни с чем он при этом не сталкивается.

Поперечной силе взяться вроде бы неоткуда, ведь тяжесть тянет вниз, а сопротивление воздуха назад. Но мяч ещё и вращается, и это меняет картину обтекания. С одной стороны воздух проходит мимо мяча быстрее, с другой медленнее, а там, где течение быстрее, давление ниже. Разность давлений и уводит мяч в сторону.

Дальше выведем уравнение Бернулли из закона сохранения энергии, разберём обтекание цилиндра и парадокс Даламбера, введём циркуляцию $\Gamma$ и получим силу $F=\rho v\Gamma$. В конце посчитаем настоящий штрафной.

Возьмём трубку тока — воображаемую трубку, стенки которой сотканы из линий тока, так что жидкость сквозь них не течёт. Пусть за время $dt$ через вход прошёл объём $dV$. Жидкость несжимаема, поэтому через выход прошёл ровно такой же объём.

Работа сил давления на входе и выходе идёт на изменение кинетической и потенциальной энергии:

Сократим на объёме и соберём слагаемые по сечениям. Получится уравнение Бернулли:

Когда им можно пользоваться

Вывод опирался на три допущения, и каждое ограничивает применимость. Течение стационарно, то есть картина не меняется со временем. Жидкость несжимаема, что для воды верно всегда, а для воздуха пока скорость много меньше скорости звука. Вязкости нет, и часть энергии не уходит в тепло.

Постоянная при этом своя для каждой линии тока. Поэтому сравнивать давления в двух точках по Бернулли можно, только если через них проходит одна и та же линия.

Из неразрывности следует, что в узком месте скорость выше, ведь через любое сечение за секунду проходит один и тот же объём. Значит, там ниже и давление. На этом работают распылитель, водоструйный насос и расходомер Вентури, который меряет расход по перепаду давления.

Поставим в поток цилиндр. Если жидкость идеальная, задачу можно решить точно, ведь течение описывается функцией тока, линии уровня которой и есть линии тока. Для цилиндра радиуса $a$ в потоке $U$ функция тока равна

Скорость получается дифференцированием: $u=\partial\psi/\partial y$, $v=-\partial\psi/\partial x$. На самой поверхности радиальная составляющая обращается в ноль — жидкость сквозь тело не течёт, — а касательная равна

В точках $\theta=0$ и $\theta=180^\circ$ скорость равна нулю, это и есть точки торможения, спереди и сзади. На боках, при $\theta=\pm90^\circ$, скорость вдвое больше скорости набегающего потока. Там, по Бернулли, глубокое разрежение.

Пока циркуляции нет, картина симметрична и сверху вниз, и спереди назад. Симметрия сверху вниз означает, что поперечной силы нет. А симметрия спереди назад приводит к выводу, который расходится с опытом, и им мы займёмся в следующем разделе.

Посчитаем силу сопротивления цилиндра в идеальной жидкости. Давление на поверхности даёт Бернулли:

Оно зависит только от $\sin^{2}\theta$, то есть одинаково спереди и сзади. Проинтегрируем проекцию силы давления на направление потока по всей окружности и получим ноль.

Значит, ни цилиндр, ни шар, ни любое другое тело в идеальной жидкости не испытывает силы сопротивления. Это и есть парадокс Даламбера, сформулированный в 1752 году.

Вывод расходится с опытом, ведь грести веслом тяжело, а велосипедист на скорости тратит на воздух больше половины мощности. Значит, какое-то из допущений не работает, и это отсутствие вязкости.

Пограничный слой и отрыв

Вязкость воздуха мала, и в основной части потока ею действительно можно пренебречь. Но у самой поверхности скорость обязана обращаться в ноль, потому что молекулы прилипают к телу. Значит, есть тонкий слой, в котором скорость быстро падает от $U$ до нуля. Его называют пограничным, и толщина его невелика:

За серединой тела давление начинает расти, ведь жидкость, разогнавшаяся на боку, должна затормозить у кормы. Внешнему потоку энергии на это хватает, а обеднённому пограничному слою — нет. Слой останавливается, разворачивается и отрывается от поверхности.

За телом образуется след с пониженным давлением, симметрия спереди назад ломается, и появляется настоящее сопротивление. Поэтому у обтекаемых тел длинный сужающийся хвост, который отодвигает отрыв назад.

Тот же пограничный слой понадобится нам через раздел. Вращающееся тело увлекает его за собой, и так у мяча появляется циркуляция.

Циркуляция — это интеграл скорости по замкнутому контуру вокруг тела:

К решению для цилиндра её можно добавить, не нарушив ни одного уравнения. Течение остаётся безвихревым всюду вне тела, а сквозь поверхность по-прежнему ничего не течёт. Функция тока получает логарифмическую добавку:

А скорость на поверхности — постоянное слагаемое:

Этим и исчерпывается несимметрия. С одной стороны циркуляция складывается со скоростью обтекания, с другой вычитается. Точки торможения съезжают и стоят теперь там, где $\sin\theta=\Gamma/(4\pi a U)$. Когда циркуляция превышает $4\pi a U$, точки сливаются и вовсе сходят с поверхности.

Считаем силу

Подставим скорость в Бернулли и проинтегрируем давление по окружности. Члены с $\sin^{3}\theta$ и просто $\sin\theta$ за полный оборот дают ноль, выживает только перекрёстное слагаемое:

Знак читается так. Если поверхность тела движется по потоку с той стороны, где мы ждём подъёмную силу, там воздух разгоняется, давление падает, и туда тело и потянет.

Откуда циркуляция у мяча

У идеальной жидкости взяться ей неоткуда, циркуляция сохраняется и остаётся нулевой. Её создаёт вязкость, ведь вращающаяся поверхность увлекает пограничный слой. Грубая оценка берёт слой движущимся со скоростью поверхности:

Подставим в теорему Жуковского и получим $F\sim 2\pi\rho a^{2}\omega U$, так что сила растёт и с вращением, и со скоростью. Для шара строгой формулы такого вида нет, потому что след турбулентный, и на практике пользуются коэффициентом подъёмной силы, измеренным в трубе:

Коэффициент насыщается около $0{,}3$ при сильном вращении. Дальше формула перестаёт работать, потому что вступает в дело перестройка следа и зависимость становится нелинейной.

Оценим, на сколько уводит футбольный мяч. Радиус $a=0{,}11$ м, масса $0{,}43$ кг, скорость $25$ м/с, вращение $8$ оборотов в секунду, то есть $\omega\approx50$ рад/с.

Ускорение получается $a_\perp=F/m\approx4{,}4$ м/с². За секунду полёта это даёт $a_\perp t^{2}/2\approx2$ метра вбок — ровно столько, чтобы обойти стенку и вернуться в створ.

Боковое ускорение почти постоянно, а смещение набирается как $a_\perp t^{2}/2$. Поэтому увод растёт как квадрат времени полёта, и на длинном штрафном подкрутка заметна, а на коротком пасе почти нет.

Другие виды спорта

В теннисе верхнее вращение направляет силу Магнуса вниз, мяч падает круче параболы, и бить можно сильнее, не рискуя вылететь за линию. Нижнее вращение действует наоборот, оно удерживает мяч в воздухе, и резаный удар летит дольше и ниже отскакивает.

В бейсболе подача с верхним вращением падает резче обычной, а с нижним кажется поднимающейся, хотя падает просто медленнее. Есть и подача почти без вращения, у неё неустойчивый след, и мяч виляет непредсказуемо.

В гольфе нижнее вращение задают специально, потому что сила Магнуса направлена вверх и заметно увеличивает дальность. Ямочки на поверхности работают на то же самое, они делают пограничный слой турбулентным, отодвигают отрыв и уменьшают сопротивление.

Подъёмная сила крыла

Крыло не вращается, но циркуляция у него есть, и создаёт её форма профиля вместе с условием схода потока с острой задней кромки. Подъёмная сила считается той же теоремой Жуковского, и для оценок обычно записывается через коэффициент:

Отсюда следуют два практических вывода. Подъёмная сила растёт как квадрат скорости, поэтому при удвоении скорости она вырастает вчетверо. И есть минимальная скорость, ниже которой крыло не удержит вес, её и называют скоростью сваливания.

Посчитай, впиши ответ и нажми «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Плотность воды $1000$ кг/м³, воздуха $1{,}2$ кг/м³, $g=9{,}8$ м/с². Всё нужное для решения собрано в трёх формулах.