Почему нефть течёт не как вода

Вода из крана почти сразу собирается в ровную струю, а мёд и густое масло тянутся и растекаются медленно. Нефть тоже жидкость, но сказать о ней «течёт хуже воды» недостаточно: одна нефть ведёт себя почти как вода, другую приходится подогревать, а у третьей свойства меняются прямо во время движения.

Чтобы понять, как нефть поднимают из пласта и прокачивают по трубам, нужна реология — раздел механики о том, как вещества деформируются и текут. Начнём с того, откуда у жидкости берётся сопротивление течению.

Статья открывает спецсерию Компендиума к проекту «Физико-химический прорыв» — программе, которая помогает школам Татарстана глубже учить физике и химии.

Опыт с двумя пластинами

Поместим жидкость между двумя большими параллельными пластинами. Нижняя неподвижна, верхняя медленно движется вправо. Слой, прилегающий к верхней пластине, увлекается ею, слой у нижней почти стоит, а между ними скорость меняется постепенно.

Соседние слои движутся с разными скоростями и трутся друг о друга. Это внутреннее трение и называют вязкостью. Чем быстрее меняется скорость от слоя к слою, тем сильнее трение. Для обычной жидкости связь линейная:

Здесь $\tau$ — касательное напряжение, то есть сила трения на единицу площади слоя, $\eta$ — динамическая вязкость, а $dv/dy$ показывает, насколько быстро меняется скорость поперёк потока.

У воды при комнатной температуре вязкость около $10^{-3}\ \text{Па}\cdot\text{с}$, у масел и тяжёлых нефтей она бывает в десятки и тысячи раз больше. Формулу полезно читать по смыслу: вязкость связывает деформацию потока с силой, которая этой деформации сопротивляется.

Перепад давления и профиль скорости

Заменим пластины трубой. Если давление на её концах одинаково, устойчивого потока нет. Чтобы жидкость текла по длинному трубопроводу, давление на входе должно быть больше, чем на выходе: разность давлений создаёт силу, которая преодолевает вязкое сопротивление. Эту разность и поддерживает насос.

В трубе роль неподвижной пластины играет стенка: жидкость к ней прилипает, и скорость там равна нулю. Быстрее всего движется слой на оси. Для спокойного ламинарного течения в круглой трубе радиуса $R$ и длины $L$ под перепадом давления $\Delta p$ скорость на расстоянии $r$ от оси равна

Это парабола. Если сложить вклад всех слоёв, получится расход $Q$ — объём жидкости, проходящий через сечение за секунду. Результат называют законом Пуазёйля:

В формуле видна инженерная логика. Перепад давления и вязкость входят в неё в первой степени: вдвое больший перепад даёт вдвое больший расход, вдвое более вязкая жидкость — вдвое меньший. С радиусом иначе:

Поэтому небольшое изменение диаметра меняет пропускную способность трубы очень сильно. Откуда берутся парабола и четвёртая степень, показано в разделе о выводе профиля.

Если бы любая нефть была обычной жидкостью с постоянной вязкостью, инженерная задача сводилась бы к измерению $\eta$, подбору диаметра трубы и мощности насосов. На деле нефть — смесь огромного числа углеводородов и других веществ.

В ней бывают растворены газы, смолы, асфальтены и парафины, в ней есть вода и механические примеси. Поэтому вязкость нефти зависит от состава, температуры, давления, а иногда и от истории движения. Как ту же смесь делят на фракции, разобрано в статье о перегонке нефти.

Почему подогрев помогает

Сильнее всего на вязкость влияет температура. Молекулы жидкости постоянно движутся и взаимодействуют друг с другом: соседние слои обмениваются импульсом, а межмолекулярное притяжение мешает им свободно скользить. При нагревании тепловое движение усиливается, и вязкость большинства жидкостей падает.

У газов тенденция обычно обратная: с ростом температуры их вязкость увеличивается. Уже поэтому описание вязкости как «трения между молекулами» слишком грубо: механизм переноса импульса в жидкости и в газе разный.

Для жидкостей падение вязкости при нагреве часто близко к экспоненте. В сценах этого раздела взята простая учебная модель:

Здесь $T$ — абсолютная температура, $\eta_0$ — вязкость при температуре $T_0$, а константа $B$ задаёт крутизну кривой и у каждой жидкости своя.

На практике температурная зависимость бывает очень сильной, поэтому в нефтяной инженерии тепловой режим входит в саму постановку задачи. Нефть, которая при одной температуре сравнительно легко прокачивается, при охлаждении может стать значительно более вязкой.

Парафин и предел текучести

В некоторых нефтях есть парафиновые углеводороды. При достаточно высокой температуре они растворены в жидкости. При охлаждении растворимость падает, и парафин начинает выделяться кристаллами.

Сначала появляются мелкие твёрдые частицы. Затем они сцепляются друг с другом, образуют пространственную структуру и меняют поведение потока. Такая нефть отличается от исходной уже качественно: дело не сводится к выросшей вязкости.

В таком состоянии у нефти может появиться предел текучести: слабого напряжения недостаточно, чтобы вещество вообще начало течь. Для идеализированной модели Бингама

Здесь $\tau_0$ — предел текучести, $\eta_{\mathrm p}$ — пластическая вязкость. Пока касательное напряжение меньше $\tau_0$, материал ведёт себя почти как твёрдое тело. После превышения порога он течёт.

Модель Бингама не описывает любую нефть во всех режимах. Она показывает принцип: сложной жидкости одной константы вязкости иногда недостаточно.

Для воды при обычных условиях отношение касательного напряжения к градиенту скорости остаётся практически постоянным:

Такую жидкость называют ньютоновской. Градиент скорости в реологии называют скоростью сдвига и обозначают $\dot\gamma = dv/dy$. У неньютоновских жидкостей отношение $\tau/\dot\gamma$, то есть эффективная вязкость, зависит от режима течения.

Если при росте скорости сдвига жидкость становится менее вязкой, её называют псевдопластичной. Другие системы, наоборот, густеют при интенсивном перемешивании; их называют дилатантными. Оба случая описывает степенной закон:

При $n = 1$ жидкость ньютоновская, и коэффициент $K$ совпадает с вязкостью. При $n < 1$ она псевдопластичная, при $n > 1$ — дилатантная.

Для нефтей с большим количеством тяжёлых компонентов, кристаллов парафина или эмульсионной воды существенны именно неньютоновские эффекты. Одна и та же нефть при медленной и при быстрой прокачке ведёт себя как жидкости разной вязкости.

Вода в нефти: эмульсии

Нефть в пласте часто соседствует с водой, и по мере разработки месторождения вместе с нефтью может добываться всё больше воды. Пока вода и нефть полностью разделены, задача относительно понятна: по трубе идут две фазы.

Интенсивное перемешивание способно разбить одну фазу на множество мелких капель в другой. Получается эмульсия.

Эмульсия бывает значительно более вязкой, чем исходная нефть: капли мешают слоям сплошной фазы скользить друг относительно друга. Её свойства зависят от доли воды, размера капель, поверхностно-активных веществ и режима перемешивания.

Значит, рост содержания воды не обязан делать смесь более текучей, хотя сама вода намного менее вязкая. По таблице свойств чистых компонентов поведение смеси предсказать нельзя.

Плотность и вязкость — разные величины

Эти величины часто путают. Плотность $\rho = m/V$ показывает, сколько массы приходится на единицу объёма. Вязкость показывает сопротивление сдвиговому течению. Очень плотная жидкость не обязана быть очень вязкой, и наоборот.

Ртуть значительно плотнее воды, но судить по плотности о том, как она течёт, нельзя: её вязкость близка к вязкости воды. Мёд плотнее воды меньше чем в полтора раза, а вязкость у него больше в тысячи раз.

До сих пор течение было аккуратным, слоистым; такое течение называют ламинарным. При достаточно большой скорости поток становится неустойчивым: возникают вихри, слои перемешиваются. Это турбулентность. Какой режим ожидать, подсказывает число Рейнольдса:

Здесь $v$ — характерная скорость потока, $D$ — диаметр трубы. В числителе собраны величины, усиливающие инерцию потока, в знаменателе стоит вязкость, которая сглаживает различия скоростей.

При малом $\mathrm{Re}$ вязкость успевает гасить возмущения. При большом инерция становится важнее, и течение может перейти к турбулентному. Для круглой трубы переход обычно начинается около $\mathrm{Re} \approx 2300$.

Осборн Рейнольдс показал это на опыте в 1883 году: в поток воды в стеклянной трубе вводилась тонкая струйка красителя, а скорость течения постепенно увеличивалась.

Почему турбулентность усложняет расчёт

Закон Пуазёйля работает для ламинарного режима. В турбулентном течении возникают дополнительные потери энергии на вихревое движение: давление расходуется уже не только на молекулярное внутреннее трение. Энергия передаётся от крупных вихрей к более мелким и в итоге рассеивается в тепло.

Поэтому для реального трубопровода одной школьной формулы мало. Инженер пользуется системой моделей: учитывает режим течения, шероховатость стенок, изменение температуры, состав жидкости, присутствие газа и воды. В основе остаётся та же механика: баланс сил, импульс и рассеяние энергии.

Куда уходит энергия насоса

Создавая перепад давления, насос передаёт жидкости механическую энергию. В идеальном невязком потоке она переходила бы между давлением, скоростью и высотой без потерь. Реальная вязкая жидкость часть механической энергии необратимо превращает в тепло.

Для длинных труб потери давления записывают через коэффициент гидравлического сопротивления $\lambda$:

Коэффициент $\lambda$ зависит от режима течения и шероховатости стенок. Запись применима шире закона Пуазёйля, в том числе в турбулентном режиме. В ламинарном она с ним совпадает: тогда $\lambda = 64/\mathrm{Re}$.

Вопрос «какой нужен насос» в инженерном расчёте в итоге означает: какой перепад давления нужно создать, чтобы покрыть все потери и обеспечить заданный расход.

Шероховатость и отложения

В ламинарном режиме слои жидкости движутся упорядоченно, и возмущения от небольших неровностей стенки быстро гасятся вязкостью.

В турбулентном режиме у стенки существует сложная система вихрей и больших градиентов скорости. Тогда высота неровностей по отношению к диаметру трубы уже заметно влияет на сопротивление.

Если на стенках откладывается парафин, меняются сразу два параметра: уменьшается проходной диаметр, и другой становится внутренняя поверхность. Оба эффекта увеличивают нужный перепад давления. Похожим образом действуют продукты коррозии на стенках стальных труб.

Растворённый газ

В пласте нефть находится под большим давлением, и часть газа может быть растворена в ней. При подъёме по скважине давление снижается, растворимость газа падает, и он начинает выделяться пузырьками.

Теперь по трубе идёт двухфазная смесь. Её плотность, эффективная вязкость и режим течения меняются по высоте. Пузырьки могут объединяться в крупные газовые пробки; так пузырьковый режим сменяется снарядным, а за ним возможны и другие типы многофазного течения.

Для такой системы формулы Пуазёйля уже недостаточно. Она остаётся отправной точкой: сначала описывается однофазный вязкий поток, затем к нему добавляются новые эффекты.

Самая простая идея — заставить жидкость течь в известных условиях и посмотреть, насколько быстро она движется. Так устроен капиллярный вискозиметр: измеряют время, за которое заданный объём жидкости вытекает через тонкий канал.

Течение в капилляре подчиняется закону Пуазёйля, поэтому время истечения пропорционально вязкости. Жидкость гонит её собственный вес, и в ответ входит плотность: прибор измеряет кинематическую вязкость $\nu = \eta/\rho$.

Другой прибор — ротационный вискозиметр. Жидкость находится в зазоре между двумя соосными цилиндрами, один из которых вращается относительно другого. По моменту сил определяют связь между касательным напряжением и скоростью сдвига.

Если исследуемая жидкость сложная, одного числа «вязкость» мало. Тогда меняют скорость вращения и строят реологическую кривую — зависимость напряжения от скорости сдвига, такую же, как на графике из раздела о неньютоновских жидкостях.

Поэтому слово «реология» точнее слова «густота». Реология изучает, как материал деформируется и течёт в зависимости от приложенного воздействия и времени.

Домашний опыт

Параболу скоростей и четвёртую степень радиуса можно получить из баланса сил. Раздел рассчитан на тех, кто знаком с производной и интегралом; остальной текст от него не зависит.

Выделим в потоке цилиндр жидкости радиуса $r$ и длины $L$, соосный с трубой. Перепад давления толкает его вперёд с силой

Соседний, более медленный слой тормозит цилиндр. Вязкое напряжение $\tau$ действует на его боковую поверхность:

В установившемся режиме ускорения нет, значит, силы уравновешиваются:

Напряжение растёт от оси к стенке линейно, какой бы ни была жидкость. Её свойства входят следующим шагом. Для ньютоновской жидкости $\tau = -\eta\,dv/dr$: знак минус показывает, что скорость убывает с удалением от оси. Следовательно,

Интегрируем по радиусу:

На стенке трубы жидкость неподвижна, $v(R) = 0$, поэтому $C = \Delta p\,R^2/(4\eta L)$. Получаем параболу:

Остаётся найти расход. Через тонкое кольцо радиуса $r$ и ширины $dr$ за секунду проходит объём $v(r)\cdot 2\pi r\,dr$. Сумма по всему сечению даёт закон Пуазёйля:

Четвёртая степень складывается из двух квадратов: скорость на оси пропорциональна $R^2$, и площадь сечения тоже.

Мини-задача: десять процентов радиуса

Возьмём две трубы одинаковой длины. Радиус второй на 10 % больше: $R_2 = 1{,}1\,R_1$. При одинаковой вязкости и одинаковом перепаде давления

Всего 10 % к радиусу дают примерно 46 % к расходу в идеализированном ламинарном режиме. Для любого промышленного трубопровода эта формула не годится, но урок масштабирования остаётся: геометрия может влиять на процесс намного сильнее, чем кажется на глаз.

Всё сказанное выше выглядит как чистая механика. Но на вопрос, почему у данной нефти именно такая вязкость, механика уже не отвечает. Для этого нужно понимать:

• молекулярный состав;
• межмолекулярные взаимодействия;
• фазовые переходы;
• растворимость парафинов;
• образование эмульсий;
• действие присадок;
• зависимость свойств от температуры и давления.

Граница между физикой и химией проходит не по трубе: одна и та же инженерная задача требует обеих дисциплин.

Главное

1. Вязкость — мера сопротивления сдвиговому течению, а не бытовая «густота».
2. В ламинарном течении по круглой трубе расход очень сильно зависит от радиуса: $Q \propto R^4$.
3. Вязкость жидкости обычно зависит от температуры; для нефти это может радикально менять условия транспортировки.
4. Сложные нефтяные системы бывают неньютоновскими, образуют эмульсии и могут иметь предел текучести.
5. Реальная нефтяная задача находится на стыке механики, термодинамики и физической химии.

Посчитай, впиши ответ и нажми «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Всё нужное для решения собрано в четырёх формулах.