Радуга | Академия

00постановка вопроса

Три вещи и один вопрос

Чтобы получилась радуга, нужны три вещи: капли дождя, Солнце и наблюдатель. За этим стоит довольно глубокая физика, но вся она сводится к пути света в одной-единственной капле.

По дороге ответим на вопросы, которые обычно остаются в стороне.

Почему радугу не видно, если смотреть в сторону Солнца? Почему небо над дугой темнее, чем под ней? Почему радуга всегда имеет форму дуги и всегда видна под одним углом? И откуда берётся вторая, бледная радуга с обратным порядком цветов?

01внутри капли

Что делает луч в капле

Капля дождя — почти идеальный шарик воды. Когда на неё падает солнечный луч, часть света отражается от поверхности, а часть проходит внутрь. У задней стенки часть света снова отражается обратно в каплю, а часть уходит наружу.

Радугу создаёт луч, который преломился на входе, один раз отразился от задней стенки и преломился на выходе, поэтому дальше следим именно за ним. Свет, отразившийся от передней поверхности, к радуге отношения не имеет.

Введём обозначения. Расстояние от центра капли до прямой, по которой идёт луч, называют прицельным параметром $d$ . Его удобно измерять в долях радиуса капли $R$ : от $0$ в центре до $1$ у края.

Угол между лучом и нормалью к поверхности на входе обозначим $i$ , а внутри воды — $r$ ; нормаль в шаре направлена вдоль радиуса. Чем выше луч попадает в каплю, тем больше $d$ и тем больше угол падения $i$ .

Точка входа d0,60

Тяни ползунок: луч входит выше, угол падения i растёт, а с ним и угол r в воде. Радугу даёт именно этот путь — с одним отражением от задней стенки.

02преломление

Почему луч гнётся

Сначала разберёмся, почему луч вообще меняет направление на границе. Свет — электромагнитная волна.

В воде она раскачивает заряженные частицы среды, как шарики на пружинках; те колеблются и переизлучают свет, и на каждом слое волна немного запаздывает по фазе. В результате в среде уменьшаются длина волны и скорость света, а частота остаётся прежней.

Во сколько раз свет замедляется, показывает показатель преломления — отношение скорости света в вакууме к скорости в среде:

n=\frac{c}{v},\qquad n_{\text{вода}}\approx 1{,}33.

Когда фронт волны входит в воду под углом, его край, попавший в воду первым, раньше начинает двигаться медленнее, и весь фронт поворачивается. Луч перпендикулярен фронту, поэтому он тоже меняет направление. Углы падения и преломления связывает закон Снеллиуса:

\sin i = n\,\sin r.

Угол падения i55°

Меняйте угол падения. Частота всюду одна, но за границей гребень проходит за то же время путь в 1,33 раза короче — волна в воде медленнее, и гребни там стоят теснее. Фронт из-за этого поворачивается, и луч гнётся к нормали: чем больше i, тем заметнее.

03каустика

Угол, который упирается в потолок

Сложим повороты луча на каждом шаге. На входе он отклоняется на $i-r$ , при отражении от задней стенки — на $180^\circ-2r$ , на выходе снова на $i-r$ . Полное отклонение:

D=2(i-r)+(180^\circ-2r)=180^\circ+2i-4r.

Угол, под которым луч возвращается к наблюдателю, удобно отсчитывать от направления «прочь от Солнца»: $\theta=180^\circ-D$ . Посмотрим, как $\theta$ зависит от того, в какую точку капли попал луч.

угол выхода θ—

Луч входит всё выше, угол выхода θ растёт, упирается в 42° и отступает. У потолка соседние лучи выходят почти параллельно и сгущаются — это каустика.

Поднимая луч, мы сначала увеличиваем $\theta$ , но около $42^\circ$ угол достигает максимума и начинает уменьшаться.

Точка отражения на задней стенке поднимается только до прицельного параметра около $0{,}86$ радиуса. Дальше угол падения так велик, что точка отражения смещается по стенке вниз, и вышедший луч поворачивает назад.

Кривая θ(d) поднимается до 42° при d ≈ 0,86 и идёт вниз: у вершины она плоская, поэтому лучи из целой полосы капли выходят под одним углом.

У самого максимума соседние лучи выходят почти параллельно, и свет фокусируется. Такое скопление лучей называется каустикой; она и образует яркую границу радуги.

Найдём этот максимум. У нас две связи — отклонение и закон Снеллиуса:

D(i)=180^\circ+2i-4r,\qquad \sin i=n\sin r.

Продифференцируем обе по $i$ , учитывая, что угол $r$ сам зависит от $i$ :

\frac{dD}{di}=2-4\frac{dr}{di},\qquad \cos i=n\cos r\,\frac{dr}{di}\;\Rightarrow\;\frac{dr}{di}=\frac{\cos i}{n\cos r}.

В минимуме отклонения $dD/di=0$ , отсюда $n\cos r=2\cos i$ . Возведём в квадрат и подставим $n^2\cos^2 r=n^2-\sin^2 i$ :

n^2-\sin^2 i=4-4\sin^2 i\;\Rightarrow\;\cos i_0=\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}.

θ ≈ 42°

Здесь $i_0$ — угол падения, при котором отклонение минимально, а $\theta$ максимален. Для $n=4/3$ получаем $i_0\approx 59{,}4^\circ$ , $r\approx 40{,}2^\circ$ , поэтому $D\approx 138^\circ$ и $\theta=180^\circ-D\approx 42^\circ$ . Под большими углами свет из капель не приходит, поэтому небо над дугой темнее; у самой границы лучи скапливаются, и она светится.

04форма

Откуда берётся форма

Угол $42^\circ$ одинаков во все стороны вокруг прямой, которая проходит через Солнце, голову наблюдателя и антисолнечную точку. Все капли, видимые под углом $42^\circ$ к этой прямой, лежат на конусе.

Пересечение конуса с пеленой дождя — окружность, а земля обрезает её до дуги. Поэтому центр радуги всегда совпадает с тенью головы наблюдателя, и два человека никогда не видят одну и ту же радугу.

Высота Солнца18°

над землёй36% круга

Покрути сцену пальцем или мышью и меняй высоту Солнца. Капли под углом 42° к оси лежат на конусе, конус режет пелену дождя по кругу, и над землёй остаётся только его верхняя часть.

05дисперсия

Откуда берутся цвета

Показатель преломления немного различается для разных цветов; это явление называют дисперсией.

Чем выше частота света, тем ближе она к собственной частоте колебаний зарядов в воде, тем сильнее они раскачиваются и тем больше $n$ . Поэтому у синего и фиолетового света показатель преломления больше, чем у красного:

n_{\text{кр}}\approx 1{,}331,\qquad n_{\text{фиол}}\approx 1{,}344.

Чем больше $n$ , тем сильнее отклонение и тем меньше угол каустики. Для красного света максимум приходится на $42{,}4^\circ$ , для фиолетового — на $40{,}5^\circ$ .

Поэтому одна капля посылает в глаз наблюдателя только один цвет — тот, чей угол совпадает с её положением на небе. При этом капля падает: она проходит все углы по очереди и посылает сначала красный, потом оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый.

Уроните каплю. Свет радуги приходит в глаз только из веера 40,5°…42,4°: капля проходит его и посылает цвета по очереди, от красного к фиолетовому. Веер на рисунке расширен.

06вторая радуга

Ещё одно отражение

Иногда над основной радугой видна вторая — более бледная и с обратным порядком цветов. Её дают лучи, которые отразились внутри капли не один раз, а дважды. Каждое отражение добавляет к повороту $180^\circ-2r$ , поэтому полное отклонение другое:

D=2(i-r)+2(180^\circ-2r)=360^\circ+2i-6r.

Дифференцируем так же. Производная и условие минимума дают:

\frac{dD}{di}=2-6\frac{dr}{di}=0\;\Rightarrow\;\frac{dr}{di}=\frac13\;\Rightarrow\;n\cos r=3\cos i.

Возводим в квадрат и снова подставляем закон Снеллиуса:

n^2-\sin^2 i=9-9\sin^2 i\;\Rightarrow\;\cos i_0=\sqrt{\frac{n^2-1}{8}}.

Для $n=4/3$ получаем $i_0\approx 71{,}8^\circ$ , $r\approx 45{,}5^\circ$ , тогда $D\approx 231^\circ$ и $\theta=D-180^\circ\approx 51^\circ$ , то есть на $9^\circ$ выше основной дуги.

При двух отражениях у угла выхода θ появляется минимум около 51° — это вторая радуга. Лишнее отражение переворачивает порядок цветов: красный теперь внутри.

07задачи

Проверьте себя

Три задачи по нарастанию сложности. Посчитайте, впишите ответ и нажмите «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Всё нужное для решения собрано в трёх формулах.

\sin i=n\sin r,\qquad D=180^\circ+2i-4r,\qquad \cos i_0=\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}.

1

Солнце поднялось на высоту

42^\circ

над горизонтом. Увидит ли наблюдатель на ровном поле радугу?

Разбор

Решение

Радуга — окружность радиусом $42^\circ$ вокруг антисолнечной точки. Эта точка опущена под горизонт ровно настолько, насколько Солнце поднято над ним. При высоте Солнца $42^\circ$ центр окружности уходит на $42^\circ$ под горизонт, и вся окружность радиусом $42^\circ$ оказывается ниже линии земли.

Основную радугу видно, только когда Солнце ниже $42^\circ$ , поэтому её наблюдают утром или ближе к вечеру, а не в полдень. Бледная вторичная дуга радиусом $51^\circ$ в этот момент ещё поднимается над горизонтом на $9^\circ$ .

Ответ: нет, основной радуги не видно

2

Вместо капель — стеклянные шарики с

n=1{,}5

. Под каким углом будет видна «радуга» от них?

θ =°

Разбор

Решение

1. Что ищем. Яркая граница радуги — угол $\theta$ , под которым свет выходит из шарика после одного отражения внутри. Он определяется только показателем преломления, поэтому у стекла он другой, чем у воды.

2. Граница радуги — там, где отклонение минимально. Условие минимума из раздела 03:

\cos i_0=\sqrt{\frac{1{,}5^2-1}{3}}=\sqrt{\frac{1{,}25}{3}}\approx0{,}645\;\Rightarrow\; i_0\approx49{,}8^\circ.

3. Угол внутри шарика — из закона Снеллиуса:

\sin r=\frac{\sin i_0}{n}=\frac{0{,}764}{1{,}5}\approx0{,}509\;\Rightarrow\; r\approx30{,}6^\circ.

4. Отклонение и угол радуги:

D=180^\circ+2\cdot49{,}8^\circ-4\cdot30{,}6^\circ\approx157{,}2^\circ,\qquad \theta=180^\circ-D\approx22{,}8^\circ.

Угол почти вдвое меньше водяных $42^\circ$ . Чем больше $n$ , тем сильнее отклоняется свет и тем меньше радиус «радуги».

Ответ: θ ≈ 23°

3

Показатель преломления воды меняется от

1{,}331

для красного света до

1{,}344

для фиолетового. На сколько градусов расходятся края радуги? Оцени её угловую ширину.

Δθ =°

Разбор

Решение

1. Откуда ширина. Угол $\theta$ зависит от $n$ , а у разных цветов $n$ немного различается. Значит, у каждого цвета свой угол, и радуга растягивается в полосу. Найдём $\theta$ для крайних цветов и вычтем. Цепочка та же, что в задаче 2: $\cos i_0$ → $r$ из закона Снеллиуса → $D$ → $\theta$ .

2. Красный край, $n=1{,}331$ :

\cos i_0\approx0{,}507\Rightarrow i_0\approx59{,}5^\circ,\quad r\approx40{,}4^\circ,\quad D\approx137{,}6^\circ\Rightarrow \theta_{\text{кр}}\approx42{,}4^\circ.

3. Фиолетовый край, $n=1{,}344$ :

\cos i_0\approx0{,}518\Rightarrow i_0\approx58{,}8^\circ,\quad r\approx39{,}5^\circ,\quad D\approx139{,}5^\circ\Rightarrow \theta_{\text{ф}}\approx40{,}5^\circ.

4. Разность и есть угловая ширина радуги:

\Delta\theta=\theta_{\text{кр}}-\theta_{\text{ф}}\approx42{,}4^\circ-40{,}5^\circ\approx1{,}9^\circ.

Ответ: Δθ ≈ 1,9°