Колебания и волны

01постановка

Гармонические колебания

Колебания называют гармоническими, если координата меняется по закону синуса или косинуса:

x = A\cos(\omega t + \varphi_0).

Здесь $A$ — амплитуда, то есть наибольшее отклонение от положения равновесия, $\omega$ — циклическая частота, а $\varphi_0$ — начальная фаза, то есть то, в каком месте колебания тело находилось в нулевой момент.

Период и частота связаны с $\omega$ так же, как при движении по окружности:

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu.

Связь эта следует прямо из свойств косинуса, который повторяется, когда аргумент вырастает на $2\pi$ . За один период фаза $\omega t$ как раз и набирает эти $2\pi$ , значит $\omega T = 2\pi$ .

Частота же — число колебаний в секунду, то есть величина, обратная периоду. Отсюда и вторая половина равенства.

Откуда берутся множители у скорости и ускорения, видно из школьной картинки с окружностью. Пустим точку равномерно бегать по окружности радиуса $A$ с угловой скоростью $\omega$ .

Тень этой точки на диаметре движется ровно по закону $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ , то есть гармонически. У самой точки скорость равна $A\omega$ , а центростремительное ускорение — $A\omega^2$ .

Каждая из этих величин попадает в тень целиком там, где направлена вдоль диаметра, то есть скорость — при прохождении центра, ускорение — в крайних точках. Поэтому

v_{\max} = A\omega,\quad a_{\max} = A\omega^2.

Ускорение всегда направлено к положению равновесия — именно поэтому тело возвращается назад, а не уходит всё дальше. У бегущей по окружности точки ускорение смотрит в центр, поэтому его проекция повторяет проекцию радиуса с обратным знаком:

a = -\omega^2 x.

Эта запись и есть признак гармонического колебания. Если у какой-то системы ускорение пропорционально отклонению и направлено против него, колебания в ней гармонические, а $\omega$ читают из коэффициента пропорциональности. Следующий раздел на этом и держится.

разбор линия 6ЕГЭ-2020, основная волна

Тело массой 200 г совершает гармонические колебания вдоль оси

Ox

, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с законом

x(t) = 0{,}03\cos(10t)

(все величины выражены в СИ). Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимость от времени. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите выбранные цифры под соответствующими буквами. А) проекция импульса тела

p_x(t)

Б) потенциальная энергия пружины

E_{\text{п}}(t)

0{,}6\sin^2(10t)

9\cdot 10^{-3}\cos^2(10t)

-0{,}06\sin(10t)

0{,}09\cos(20t)

Дано

$x = 0{,}03\cos(10t)$

$m = 0{,}2\ \text{кг}$

Найти

$p_x(t),\ E_{\text{п}}(t)$

Первый шаг — прочитать условие как формулу. Сравним закон движения с общей записью гармонического колебания:

x = A\cos(\omega t + \varphi_0).

Отсюда амплитуда $A = 0{,}03$ м, циклическая частота $\omega = 10$ рад/с, начальная фаза равна нулю. Нулевая фаза значит, что в момент $t = 0$ тело стоит в крайней точке.

Теперь скорость. Она наибольшая при прохождении равновесия и равна там $A\omega$ , а меняется по синусу — с тем же $\omega$ и со сдвигом на четверть периода:

v_x = -A\omega\sin\omega t.

Знак минус говорит, что от крайней точки тело идёт к равновесию, в сторону меньших $x$ .

Подставим числа с единицами:

v_x = -0{,}03\cdot 10\,\sin(10t) = -0{,}3\sin(10t)\ \text{м/с}.

Проекция импульса отличается от скорости только множителем массы:

p_x = m v_x.

Масса дана в граммах, и её сначала переводим в килограммы, 200 г — это 0,2 кг.

p_x = 0{,}2\cdot(-0{,}3)\,\sin(10t) = -0{,}06\sin(10t)\ \text{кг}\cdot\text{м/с}.

Это формула 3 — первая цифра ответа найдена.

Со второй величиной есть заминка, ведь жёсткость пружины в условии не дана, а энергия $E_{\text{п}} = kx^2/2$ без неё не считается.

Жёсткость, однако, уже спрятана в частоте. Для груза на пружине $\omega^2 = k/m$ — это выведено в следующем разделе, — и заменить неизвестное $k$ на известные $m$ и $\omega$ здесь выгоднее, чем искать его отдельно:

k = m\omega^2 = 0{,}2\cdot 10^2 = 20\ \text{Н/м}.

Дальше энергия пружины считается по общей формуле, а координата берётся из условия:

E_{\text{п}} = \frac{kx^2}{2} = \frac{k A^2}{2}\,\cos^2\omega t.

Остаётся подставить числа:

E_{\text{п}} = \frac{20\cdot 0{,}03^2}{2}\,\cos^2(10t) = 9\cdot 10^{-3}\cos^2(10t)\ \text{Дж}.

Это формула 2. Цифры записываются в порядке букв А и Б, то есть 32.

Ответ: 32

02маятники

Пружинный и математический

Груз на пружине колеблется потому, что сила упругости возвращает его к положению равновесия и пропорциональна отклонению: $F = -kx$ . Подставим это во второй закон Ньютона:

ma = -kx \Longrightarrow a = -\frac{k}{m}\,x.

Сравним с ускорением гармонического колебания $a = -\omega^2 x$ . Отсюда $\omega^2 = k/m$ , и период пружинного маятника равен

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Масса груза1,0 кгЖёсткость100 Н/мАмплитуда8 см

период—частота—наибольшая скорость—

Период зависит только от массы и жёсткости: увеличь амплитуду — синусоида станет выше, но ход времени между максимумами не изменится.

Для математического маятника — груза на лёгкой нерастяжимой нити — рассуждение такое же, только возвращающей оказывается составляющая силы тяжести вдоль траектории, $F = -mg\sin\alpha$ . При малых углах синус почти равен отношению смещения к длине нити, $\sin\alpha \approx x/l$ , и сила снова выходит пропорциональной отклонению:

F = -\frac{mg}{l}\,x.

Роль жёсткости здесь играет $mg/l$ . Подставим эту величину вместо $k$ в формулу пружинного маятника — масса сократится:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m l}{m g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Ответ проходит проверку предельными случаями. Длинный маятник качается медленнее короткого, а там, где тяжести нет, период обращается в бесконечность — возвращать груз к вертикали нечему. Малость угла при этом существенна, ведь у размашистых колебаний период заметно больше, и формула перестаёт работать.

Оба маятника удобно повесить на одну балку и качнуть в общем времени. Ползунок массы в сцене ниже меняет груз сразу у обоих, но на периоде это сказывается только у пружины, а длина нити не касается её вовсе.

Длина нити1,00 мМасса груза1,0 кгЖёсткость пружины80 Н/м

период маятника—период пружины—отношение—

Двигайте массу: груз тяжелеет у обоих, а период меняется только у пружины. Длина нити действует наоборот — до пружины ей дела нет вовсе.

Период не зависит ни от массы, ни от амплитуды.

У пружинного маятника в формулу не входит амплитуда, у математического — ни амплитуда, ни масса.

Длина нити1,00 мМасса груза1,0 кгАмплитуда14°

период—колебаний за минуту—ускорение свободного падения10 м/с²

Двигайте массу — период не шелохнётся: в формулу T = 2π√(l/g) масса не входит. А на Луне тот же маятник качается в два с половиной раза медленнее.

разбор линия 4ЕГЭ-2024, основная волна, Урал

Шарик, подвешенный на нити, совершает свободные незатухающие гармонические колебания. Во сколько раз увеличится период его колебаний, если длину нити увеличить в 6,25 раза, а массу шарика уменьшить в 1,5 раза?

Дано

$l_2 = 6{,}25\,l_1$

$m_2 = m_1/1{,}5$

Найти

$T_2/T_1$

Начинаем с модели. Шарик мал, нить лёгкая и нерастяжимая, колебания свободные и незатухающие — это математический маятник.

У такого маятника период задают всего две величины:

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Буква $l$ означает длину нити, $g$ — ускорение свободного падения.

От чего период не зависит. Это отдельный шаг, и на нём ловят чаще всего. В формулу не входят ни масса шарика, ни размах колебаний.

Значит, второе изменение из условия — масса, уменьшенная в полтора раза, — на период не действует вовсе. Лишним это данное не назовёшь, им проверяют, узнана ли модель математического маятника.

Спрашивают не сам период, а во сколько раз он вырастет. Считать оба периода по отдельности не нужно, удобнее сразу поделить второй на первый — постоянные $2\pi$ и $g$ при этом сократятся, и неизвестная длина нити тоже.

\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}.

Под корнем осталось отношение длин, а оно в условии дано прямо, длину увеличили в 6,25 раза.

\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5.

Значит, период вырос в два с половиной раза.

Ответ: в 2,5 раза

03энергия

Превращения энергии

При колебаниях энергия непрерывно переходит из потенциальной в кинетическую и обратно. В крайних точках тело останавливается, и вся энергия потенциальная, а в положении равновесия наоборот, вся кинетическая.

Потенциальную энергию растянутой пружины считают через работу силы упругости. Сила растёт от нуля до $kA$ прямо пропорционально деформации, поэтому её среднее значение на пути $A$ равно $kA/2$ , а работа — это средняя сила, умноженная на путь. На графике $F(x) = kx$ та же работа видна как площадь треугольника с катетами $A$ и $kA$ :

E_{\text{п}} = \frac{kA\cdot A}{2} = \frac{kA^2}{2}.

Трение мы не учитываем, поэтому сумма двух энергий не меняется и в любой момент равна той, что была в крайней точке. Полная энергия колебаний определяется амплитудой:

E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}.

Из равенства этих двух выражений сразу получается максимальная скорость $v_{\max} = A\sqrt{k/m}$ — то же самое, что $A\omega$ из первого раздела.

кинетическая потенциальная сумма

Масса1,0 кгЖёсткость200 Н/мАмплитуда10 смМомент времени0 %

полная энергия—кинетическая—потенциальная—

Обе энергии проходят по два максимума за период — вдвое чаще самого колебания, — а их сумма остаётся постоянной.

На экзамене спрашивают ещё и вот что. Каждая из двух энергий проходит через максимум дважды за период — и когда тело идёт вправо, и когда влево. Поэтому колеблются они вдвое чаще самого маятника.

сумма двух энергий — прямая линия, это и есть проверка расчёта

разбор линия 22ЕГЭ-2026, основная волна, Центр

Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает горизонтальные гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом равно 10 м/с². Какова максимальная скорость груза?

Дано

$m = 2\ \text{кг}$

$k = 200\ \text{Н/м}$

$a_{\max} = 10\ \text{м/с}^2$

Найти

$v_{\max}$

Груз на горизонтальной пружине — пружинный маятник, трения нет. Две точки решают всё, это крайняя, где ускорение наибольшее, и положение равновесия, где наибольшая скорость.

Начнём с крайней точки. Деформация пружины там равна амплитуде, сила упругости наибольшая, и по второму закону Ньютона вместе с законом Гука

kA = m a_{\max}.

Отсюда амплитуда выражается через данные условия:

A = \frac{m a_{\max}}{k}.

Подставим числа с единицами:

A = \frac{2\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}^2}{200\ \text{Н/м}} = 0{,}1\ \text{м}.

Дальше нужна скорость, а про неё второй закон Ньютона прямо ничего не говорит. Поэтому переходим к энергии, ведь она связывает две точки траектории, не расспрашивая о том, что было между ними.

Нулевой уровень потенциальной энергии удобно взять в положении равновесия — там пружина не деформирована. В крайней точке скорость равна нулю, в равновесии равна нулю деформация:

\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}.

Массы двойки сокращаются, и наибольшая скорость выражается в общем виде:

v_{\max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}.

Считаем:

v_{\max} = 0{,}1\ \text{м}\cdot\sqrt{\frac{200\ \text{Н/м}}{2\ \text{кг}}} = 0{,}1\cdot 10 = 1\ \text{м/с}.

Ответ: 1 м/с

04вынужденные

Резонанс и волны

Реальные колебания затухают, ведь трение и сопротивление среды уносят энергию, амплитуда уменьшается. Чтобы колебания продолжались, систему раскачивают внешней периодической силой — такие колебания называют вынужденными, и происходят они с частотой этой силы, а не с собственной.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от того, насколько частота силы близка к собственной частоте системы. Когда они совпадают, амплитуда резко возрастает — это резонанс.

Масса1,0 кгЖёсткость200 Н/мЗатухание0,20Частота вынуждающей силы40 %

собственная частота—амплитуда сейчас—

Подведи частоту вынуждающей силы к собственной — амплитуда резко вырастет. Уменьши затухание: пик станет выше и уже.

Чем меньше затухание, тем выше и уже резонансный пик. На этом держатся и полезные применения, например настройка радиоприёмника и работа музыкальных инструментов, и разрушительные, как раскачанный мост или срезонировавшая деталь машины.

От колебаний к волне

Если колеблющееся тело связано с соседними, колебание передаётся дальше и получается волна. За один период волна проходит расстояние в одну длину волны, откуда связь трёх величин:

\lambda = vT = \frac{v}{\nu}.

Буква $v$ здесь означает скорость распространения волны в среде, а не скорость колеблющихся частиц. Сами частицы никуда не уезжают, они колеблются около своих положений.

разбор линия 4ЕГЭ-2025, основная волна, Центр

Скорость звука в воде 1500 м/с. Длина звуковой волны 25 см. Какова частота колебаний источника звука? Ответ дайте в герцах.

Дано

$v = 1500\ \text{м/с}$

$\lambda = 25\ \text{см}$

Найти

$\nu$

Звук в воде — бегущая волна, и три её величины связаны одним равенством. За период волна успевает пройти ровно одну свою длину:

\lambda = vT = \frac{v}{\nu}.

Здесь $\lambda$ — длина волны, $v$ — скорость звука в воде, $\nu$ — искомая частота.

Выразим из этого равенства частоту:

\nu = \frac{v}{\lambda}.

Прежде чем считать, переведём длину волны в метры, ведь скорость дана в метрах в секунду, и смешивать её с сантиметрами нельзя. 25 см — это 0,25 м.

\nu = \frac{1500\ \text{м/с}}{0{,}25\ \text{м}} = 6000\ \text{Гц}.

Частоту задаёт источник, и при переходе звука в другую среду она не меняется — меняется длина волны. В воздухе, где скорость звука 340 м/с, тот же звук имел бы длину волны около 5,7 см.

Ответ: 6000 Гц

резонанс — это совпадение частоты вынуждающей силы с собственной

05вторая часть

Разбор второй части

Во второй части одного ответа мало, эксперт проверяет решение целиком. В нём называют модель — материальную точку, математический маятник, лёгкую пружину — и систему отсчёта, записывают законы в общем виде и только потом подставляют числа.

В качественной задаче 21 чисел нет вовсе, вместо них цепочка рассуждений, где каждый шаг опирается на названный закон. В задаче 26 к решению добавляется обоснование, почему выбранные законы в этой ситуации применимы.

Ниже три задачи из разных вариантов, разобранные в том порядке, в каком их читает эксперт. Колебания в них соседствуют с электростатикой и законом сохранения энергии, ведь задачи второй части обычно собраны из нескольких тем.

разбор линия 21ЕГЭ-2021, основная волна

Маленький незаряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, помещён над горизонтальной диэлектрической пластиной, равномерно заряженной положительным зарядом. Размеры пластины во много раз превышают длину нити. Опираясь на законы механики и электродинамики, объясните, как изменится частота малых свободных колебаний шарика, если ему сообщить отрицательный заряд.

Дано

$q_{\text{пласт}} > 0$

$q_{\text{шар}} < 0$

Найти

$\nu$

Шарик маленький — материальная точка, нить лёгкая и нерастяжимая, колебания малые, то есть это математический маятник. Систему отсчёта свяжем с пластиной и будем считать инерциальной.

Что было до заряда. На шарик действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Частота малых колебаний такого маятника равна

\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}.

Буква $l$ означает длину нити, $g$ — ускорение свободного падения. Ни масса, ни размах колебаний в формулу не входят.

Поле пластины. Размеры пластины во много раз больше длины нити, поэтому её поле там, где качается шарик, можно считать однородным.

Напряжённость $E$ в каждой точке одна и та же и направлена от положительно заряженной пластины, то есть вверх.

Новая сила. На отрицательный заряд поле действует против напряжённости — постоянной силой $F = |q|E$ , направленной вниз, к пластине.

Теперь вниз действуют две постоянные силы. Вместе они влияют на шарик в точности как увеличенная сила тяжести, и это ключ ко всему решению.

Возвращающая сила. При отклонении нити на малый угол $\alpha$ по второму закону Ньютона вдоль траектории действует

F_x = -(mg + |q|E)\sin\alpha.

Углы малые, поэтому синус заменяем отношением смещения к длине нити, $\sin\alpha \approx x/l$ . Эта замена и превращает задачу в гармоническое колебание — без неё сила зависела бы от смещения не пропорционально.

F_x \approx -\frac{mg + |q|E}{l}\,x.

Сила по-прежнему пропорциональна смещению и направлена против него, значит колебания остаются гармоническими.

Новая частота. Сравним коэффициент с прежним: вместо $mg/l$ теперь стоит $(mg + |q|E)/l$ . Проще говоря, на месте $g$ оказалось $g + |q|E/m$ :

\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g + |q|E/m}{l}} > \nu_1.

Частота малых колебаний увеличится. Будь заряд шарика положительным, пластина отталкивала бы его, под корнем стояло бы $g - |q|E/m$ , и частота уменьшилась бы.

Ответ: частота увеличится

разбор линия 22ЕГЭ-2022, досрочная волна

Проекция скорости колеблющегося тела изменяется по закону

v_x = 0{,}5\cos(4t)

. Чему равен модуль ускорения тела в момент, когда проекция скорости равна 30 см/с?

Дано

$v_x = 0{,}5\cos(4t)$

$v_x = 30\ \text{см/с}$

Найти

$|a|$

Тело — материальная точка, система отсчёта инерциальная, ось $Ox$ направлена вдоль колебаний.

Скорость меняется по косинусу, значит колебания гармонические. Из записи условия читаются амплитуда скорости $v_{\max} = 0{,}5$ м/с и циклическая частота $\omega = 4$ рад/с.

При гармоническом колебании ускорение меняется с той же частотой, а по фазе сдвинуто на четверть периода, и где скорость по модулю наибольшая, ускорение равно нулю, и наоборот.

\begin{aligned} v_x &= v_{\max}\cos\omega t, \\ a_x &= -v_{\max}\,\omega\sin\omega t. \end{aligned}

Амплитуда ускорения оказалась в $\omega$ раз больше амплитуды скорости — это видно прямо из второй строки.

Как обойтись без времени. Момент, о котором спрашивают, в условии не назван, и искать его отдельно долго. Удобнее исключить время совсем, ведь сумма квадратов синуса и косинуса равна единице.

\frac{v_x^2}{v_{\max}^2} + \frac{a_x^2}{v_{\max}^2\,\omega^2} = 1.

Отсюда модуль ускорения выражается через одну только скорость:

|a| = v_{\max}\,\omega\sqrt{1 - \frac{v_x^2}{v_{\max}^2}}.

Скорость в условии дана в сантиметрах в секунду, и её надо перевести в систему СИ, 30 см/с — это 0,3 м/с. Отношение скоростей тогда равно 0,6.

|a| = 0{,}5\ \text{м/с}\cdot 4\ \text{с}^{-1}\cdot\sqrt{1 - 0{,}6^2} = 2\cdot 0{,}8 = 1{,}6\ \text{м/с}^2.

Тот же результат даёт координата. Амплитуда смещения $A = v_{\max}/\omega = 12{,}5$ см, из закона сохранения энергии $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ , откуда $|x| = 10$ см и $|a| = \omega^2|x| = 1{,}6$ м/с².

Ответ: 1,6 м/с²

разбор линия 26ЕГЭ-2024, основная волна, резервный день, Урал и Сибирь

От груза, неподвижно висящего на невесомой пружине жёсткостью

k = 400

Н/м, отделился с начальной скоростью, равной нулю, его фрагмент. После этого при возникших колебаниях оставшаяся часть груза поднималась на максимальную высоту

h = 3

см относительно первоначального положения. Какова масса

m

отделившегося от груза фрагмента? Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Дано

$k = 400\ \text{Н/м}$

$h = 3\ \text{см}$

$v_0 = 0$

Найти

$m$

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Груз и его части движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

До отделения груз покоится, значит по второму закону Ньютона сумма сил на него равна нулю. Пружина невесома и деформируется упруго, поэтому сила упругости подчиняется закону Гука, а энергия пружины равна $kx^2/2$ .

После отделения на оставшуюся часть действуют только сила тяжести и сила упругости, обе потенциальные, а сопротивлением воздуха пренебрегаем. Поэтому механическая энергия системы «груз — пружина — Земля» сохраняется.

Фрагмент отделяется без начальной скорости, значит в первоначальном положении скорость оставшейся части тоже равна нулю. Это и делает первоначальное положение крайней точкой колебаний.

Массу оставшейся части назовём $M$ , начальное растяжение пружины — $x_1$ . Искомая масса фрагмента — $m$ .

До отделения весь груз висит неподвижно, и условие равновесия записывается так:

k x_1 = (M + m)\,g.

Нулевой уровень энергии в поле тяжести возьмём в первоначальном положении груза, тогда в нижней точке слагаемое с высотой обращается в нуль и в уравнении остаётся на одно неизвестное меньше.

В верхней точке скорость снова равна нулю, груз поднялся на $h$ , а растяжение пружины стало равно $x_1 - h$ . Кинетической энергии нет ни там, ни там:

\frac{k x_1^2}{2} = \frac{k (x_1 - h)^2}{2} + M g h.

Решение в общем виде. Раскроем скобку и приведём подобные:

k x_1 h - \frac{k h^2}{2} = M g h.

Высота $h$ входит в каждое слагаемое, поэтому делим на неё всё уравнение:

k x_1 - \frac{kh}{2} = Mg.

Теперь подставим $kx_1$ из условия равновесия — масса оставшейся части сократится:

\begin{aligned} (M + m)\,g - \frac{kh}{2} &= Mg, \\ m &= \frac{kh}{2g}. \end{aligned}

Высоту переведём в метры, 3 см — это 0,03 м. Ускорение свободного падения берём равным 10 м/с².

m = \frac{400\ \text{Н/м}\cdot 0{,}03\ \text{м}}{2\cdot 10\ \text{м/с}^2} = 0{,}6\ \text{кг}.

Ответ: 0,6 кг

06сводка

Формулы и типичные ошибки

Две формулы периода и одна связь для волны — вот и вся расчётная часть темы. Ошибки почти всегда в том, от чего период зависит, а от чего нет.

x = A\cos(\omega t + \varphi_0)

гармоническое колебание

\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu

циклическая частота

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}

пружинный маятник

T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}

математический маятник

E = \dfrac{kA^2}{2} = \dfrac{mv_{\max}^2}{2}

полная энергия колебаний

\lambda = vT

длина волны

Где теряют баллы

Период пружинного маятника зависит от амплитуды.

Только от массы и жёсткости: T = 2π√(m/k).

Период математического маятника зависит от массы груза.

Масса в формулу не входит — только длина нити и g.

Массу увеличили вчетверо — период вырос вчетверо.

Масса под корнем: период вырастет вдвое.

Кинетическая энергия достигает максимума раз за период.

Дважды: тело проходит положение равновесия в обе стороны.

Скорость волны — это скорость движения частиц среды.

Частицы колеблются на месте; волна переносит колебание, а не вещество.

задачи

Проверьте себя

Посчитайте, впишите ответ и нажмите «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей. Где нужно установить соответствие или характер изменения величин, впишите цифры подряд, как в бланке. Всюду $g = 10$ м/с².

\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, \\ E &= \frac{kA^2}{2},\quad \lambda = vT. \end{aligned}

Период свободных колебаний пружинного маятника равен 0,8 с. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если массу груза маятника увеличить в 4 раза, не изменяя жёсткости пружины? Ответ запишите в секундах.

ЕГЭ-2024, основная волна, резервный день, Центр

T =с

Разбор

Решение

Масса стоит под корнем, поэтому вчетверо большая масса даёт вдвое больший период:

T' = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{k}} = 2T = 1{,}6\ \text{с}.

Чтобы период вырос вчетверо, массу пришлось бы увеличить в шестнадцать раз.

Ответ: 1,6 с

Во сколько раз уменьшится период свободных гармонических колебаний математического маятника, если его длину уменьшить в 4 раза?

ЕГЭ-2024, основная волна, Сибирь и Урал

враза

Разбор

Решение

Период математического маятника пропорционален корню из длины нити:

\frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{l}{l/4}} = \sqrt{4} = 2.

Ответ: в 2 раза

Груз, подвешенный на пружине жёсткостью

k = 360

Н/м, совершает свободные гармонические колебания. Какой должна быть жёсткость пружины, чтобы период колебаний груза увеличился в 3 раза? Ответ запишите в ньютонах на метр.

ЕГЭ-2024, основная волна, Юг

k =Н/м

Разбор

Решение

Жёсткость стоит под корнем в знаменателе. Чтобы период вырос в 3 раза, её нужно уменьшить в $3^2 = 9$ раз:

k' = \frac{k}{9} = \frac{360}{9} = 40\ \text{Н/м}.

Ответ: 40 Н/м

Период свободных колебаний пружинного маятника равен 0,5 с. Каким станет период свободных колебаний этого маятника, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жёсткость пружины вдвое уменьшить? Ответ дайте в секундах.

Демоверсия ЕГЭ-2019

T =с

Разбор

Решение

Под корнем стоит отношение массы к жёсткости, и оно выросло вчетверо:

\begin{aligned} T' &= 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k/2}} = 2\pi\sqrt{\frac{4m}{k}} \\ &= 2T = 1\ \text{с}. \end{aligned}

Ответ: 1 с

На каком расстоянии от стены произошёл выстрел, если эхо от выстрела вернулось к стрелку через 0,7 с? Скорость звука в воздухе 340 м/с. Ответ запишите в метрах.

ЕГЭ-2025, основная волна, Юг

L =м

Разбор

Решение

За 0,7 с звук дошёл до стены и вернулся, то есть прошёл расстояние дважды:

\begin{aligned} 2L &= vt, \\ L &= \frac{340\cdot 0{,}7}{2} = 119\ \text{м}. \end{aligned}

Ответ: 119 м

На гладком горизонтальном столе брусок массой

M

, прикреплённый к вертикальной стене лёгкой горизонтальной пружиной жёсткостью

k

, совершает свободные гармонические колебания с амплитудой

A

. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите выбранные цифры под соответствующими буквами. А) частота колебаний брускаБ) амплитуда ускорения бруска1)

A\,\dfrac{k}{M}

\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{M}{k}}

\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{M}}

A\sqrt{\dfrac{k}{M}}

ЕГЭ-2023, досрочная волна

цифры

Разбор

Решение

Циклическая частота пружинного маятника $\omega = \sqrt{k/M}$ , а частота в $2\pi$ раз меньше — это формула 3. Амплитуда ускорения равна $A\omega^2 = Ak/M$ — формула 1.

Формула 4 — это амплитуда скорости $A\omega$ , её здесь не спрашивают.

Ответ: 31

Изменение координаты при движении маятника имеет вид

x = A\sin\left(\frac{2\pi}{T}\,t\right)

. Период колебаний маятника равен

T = 2

с. Через какое время кинетическая энергия маятника впервые примет минимальное значение? Ответ дайте в секундах.

ЕГЭ-2021, основная волна, Москва

t =с

Разбор

Решение

В момент $t = 0$ синус равен нулю: маятник проходит положение равновесия, и кинетическая энергия наибольшая. Наименьшей, нулевой, она станет в крайней точке, где $x = A$ . Синус впервые равен единице, когда аргумент равен $\pi/2$ , то есть через четверть периода:

t = \frac{T}{4} = 0{,}5\ \text{с}.

Ответ: 0,5 с

Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остаётся растянутой. Как ведёт себя потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия груза, когда груз движется вверх от положения равновесия? Для каждой величины определите характер изменения: 1) увеличивается, 2) уменьшается, 3) не изменяется. Запишите выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

ЕГЭ-2026, основная волна, Дальний Восток

цифры

Разбор

Решение

Пружина растянута, а груз идёт вверх, поэтому растяжение уменьшается, и вместе с ним уменьшается энергия пружины $kx^2/2$ — цифра 2.

Кинетическая энергия наибольшая в положении равновесия, а удаляясь от него, груз тормозит — снова 2. Энергия груза в поле тяжести при этом растёт, но о ней в задаче не спрашивают.

Ответ: 22

Задачи второй части

Дальше одной формулы мало. В девятой амплитуду и период сначала нужно прочитать из таблицы, в десятой колебания груза наблюдают через линзу, и к формулам колебаний добавляется формула тонкой линзы. На экзамене такие задачи требуют записанного решения, поэтому в разборе расписан каждый шаг.

В таблице представлена зависимость координаты тела от времени для пружинного маятника. Определите максимальную скорость маятника в процессе движения.

\begin{array}{c|c||c|c} t,\ \text{с} & x,\ \text{см} & t,\ \text{с} & x,\ \text{см} \\ \hline 0 & 20 & 1 & -14{,}2 \\ 0{,}2 & 14{,}2 & 1{,}2 & 0 \\ 0{,}4 & 0 & 1{,}4 & 14{,}2 \\ 0{,}6 & -14{,}2 & 1{,}6 & 20 \\ 0{,}8 & -20 & & \end{array}

ЕГЭ-2022, основная волна, Центр

v =м/с

Разбор

Решение

Груз пружинного маятника считаем материальной точкой, систему отсчёта связываем с Землёй. Координата меняется по косинусу, и через восьмую часть периода, при $t = 0{,}2$ с, она равна 14,2 см, что в пределах точности таблицы совпадает с $20\cos 45^\circ$ . Значит, колебания гармонические.

Из таблицы берём наибольшее отклонение — амплитуда $A = 20$ см $= 0{,}2$ м. Координата возвращается к 20 см через $T = 1{,}6$ с — это период.

Наибольшая скорость гармонического колебания равна

v_{\max} = A\omega = \frac{2\pi A}{T}.

Подставляем числа:

\begin{aligned} v_{\max} &= \frac{2\cdot 3{,}14\cdot 0{,}2}{1{,}6} \\ &\approx 0{,}785\ \text{м/с}. \end{aligned}

Скорость наибольшая, когда груз проходит положение равновесия, — в таблице это моменты 0,4 с и 1,2 с, где координата равна нулю.

Ответ: ≈ 0,785 м/с

Груз на пружине совершает гармонические колебания перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы с оптической силой 5 дптр (см. рисунок). С помощью этой линзы на экране получено чёткое изображение груза, находящегося на расстоянии 0,5 м от линзы. Максимальная скорость изображения равна 1 м/с. Определите максимальную скорость самого груза, считая груз материальной точкой.

ЕГЭ-2022, основная волна

v =м/с

Разбор

Решение

Груз — материальная точка, его колебания гармонические, линза тонкая. Изображение каждого положения груза возникает в тот же момент, поэтому изображение колеблется с той же циклической частотой $\omega$ , что и груз.

Формула тонкой линзы для действительного изображения и её увеличение:

\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = D,\quad \Gamma = \frac{f}{d}.

Груз движется в плоскости, перпендикулярной оптической оси, и каждое его смещение переходит в смещение изображения с одним и тем же множителем $\Gamma$ . Поэтому амплитуда изображения в $\Gamma$ раз больше амплитуды груза, а при равных частотах так же относятся и наибольшие скорости, то есть $u_{\max} = \Gamma v_{\max}$ .

Из формулы линзы

\begin{aligned} f &= \frac{d}{Dd - 1},\quad \Gamma = \frac{1}{Dd - 1}, \\ v_{\max} &= \frac{u_{\max}}{\Gamma} = u_{\max}\,(Dd - 1). \end{aligned}

Подставляем числа:

\begin{aligned} v_{\max} &= 1\cdot(5\cdot 0{,}5 - 1) \\ &= 1{,}5\ \text{м/с}. \end{aligned}

Фокусное расстояние линзы 0,2 м, груз стоит дальше двойного фокуса, поэтому изображение уменьшенное ( $\Gamma = 2/3$ ) и движется медленнее самого груза.

Ответ: 1,5 м/с

Период маятника не зависит ни от амплитуды, ни от массы груза — потому он и стал основой часов.

В Компендиуме разбираем темы ЕГЭ по физике так, чтобы за формулой был виден её вывод.

залетай в Академию→