Центр масс

Представим типовую задачу на олимпиаде: шар массы $m$ налетает со скоростью $v$ на покоящийся шар массы $2m$, удар упругий и лобовой. Найти скорости после. Прямым путём будет записать сохранение импульса и энергии, получить квадратное уравнение, отбросить лишний корень. Много строк, из которых половину можно испортить, ошибившись в вычислениях.

Есть путь короче. Перейдём в систему отсчёта, которая едет вместе с центром масс. В ней полный импульс равен нулю по построению, шары идут навстречу друг другу, а упругий лобовой удар просто разворачивает обе скорости. Модули сохраняются, знаки меняются. Возвращаемся обратно — и ответ готов.

Дальше разберём, где у системы центр масс, почему при скомпенсированных внешних силах он движется равномерно и прямолинейно даже тогда, когда система распадается на части, как выглядят в этой системе упругий и неупругий удар, сколько энергии теряется при слипании и почему шары равной массы разлетаются под прямым углом.

Центр масс системы — это точка, положение которой считают так: радиус-вектор каждого тела умножают на его массу, все произведения складывают и делят на полную массу системы. Чем больше масса тела, тем ближе к нему оказывается эта точка:

Теперь продифференцируем это равенство по времени. Массы тел и полная масса системы $M$ со временем не меняются, поэтому выносятся за знак производной как обычные числа. А производная радиус-вектора по времени — это скорость тела, $\dot{\vec r}_i=\vec v_i$. Слева получится скорость центра масс $\vec V$, а в числителе справа — сумма $\sum_i m_i \vec v_i$, то есть по определению полный импульс системы:

Эту формулу удобнее читать наоборот: $\vec p_{\text{полн}}=M\vec V$. Полный импульс системы такой же, как у одного тела массы $M$, движущегося со скоростью центра масс. Сколько бы тел ни было и как бы сложно они ни двигались, для импульса система ведёт себя как одна точка.

Отсюда сразу следует всё остальное. Второй закон Ньютона для системы говорит, что скорость её центра масс меняют только внешние силы, а внутренние входят парами по третьему закону и в сумме дают ноль. Значит, если внешних сил нет, центр масс движется равномерно и прямолинейно.

Где эта точка на самом деле?

Для двух тел центр масс лежит на отрезке между ними и делит его обратно пропорционально массам. Например, у системы Земля — Луна он находится внутри Земли. Именно поэтому Земля не облетает вокруг Луны, а слегка качается вокруг общей точки.

Важно, что центр масс не обязан находиться внутри вещества. У бублика он в дырке, у прыгуна, перелетающего планку прогнувшись, — под спиной, в воздухе. Это не мешает ему быть точкой, которая честно движется по параболе.

Система центра масс — это система отсчёта, которая движется относительно лабораторной со скоростью $\vec V$. Пока внешние силы скомпенсированы, эта скорость постоянна, то есть система инерциальная, а для перехода в неё нужно применить преобразования Галилея.

Преобразования Галилея — это формулы пересчёта координат и скоростей между двумя системами отсчёта, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Время в них течёт одинаково, расстояния и промежутки времени не меняются, а скорости просто вычитаются как векторы. Сил инерции при таком переходе не возникает, законы Ньютона работают в прежнем виде, и меняются только скорости тел на один и тот же вектор:

Главное свойство данной системы — это то, что полный импульс в ней равен нулю, и равен нулю всегда, до удара и после:

Для двух тел это значит, что импульсы равны по модулю и противоположны по направлению. Именно за счёт этого факта задача становится короче, ведь вычислений становится меньше.

Теорема Кёнига говорит, что кинетическая энергия системы тел в любой инерциальной системе отсчёта равна сумме двух слагаемых: энергии движения системы как единого целого и кинетической энергии тел относительно центра масс.

Получается она прямой подстановкой. Скорость каждого тела в лабораторной системе — $\vec v_i=\vec V+\vec u_i$, где $\vec u_i$ — его скорость в системе центра масс. Подставим это в $E=\sum_i m_i v_i^{2}/2$ и раскроем квадрат. Появятся три группы слагаемых, и средняя из них, $\vec V\cdot\sum_i m_i\vec u_i$, обращается в ноль, так как в скобках стоит полный импульс в системе центра масс, а он равен нулю по её определению. Остаются две:

Первое слагаемое не может изменить никакой удар, ведь оно завязано на полный импульс, а он сохраняется. Второе слагаемое — это та часть кинетической энергии, которая при ударе способна перейти во внутреннюю: в тепло, в работу пластической деформации, в энергию звуковой волны. Больше неё удар потратить не может. Для двух тел она записывается через приведённую массу $\mu=m_1m_2/(m_1+m_2)$:

В неё входит только относительная скорость $\vec v_1-\vec v_2$, а она одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Скорость самой системы отсчёта целиком ушла в первое слагаемое, поэтому на исход удара она не влияет: сколько энергии перейдёт во внутреннюю, от выбора системы не зависит.

В системе центра масс импульсы двух тел равны по модулю и противоположны по направлению, $\vec p_1=-\vec p_2$. Поэтому вся кинетическая энергия выражается через единственный модуль $p$:

Упругий удар сохраняет энергию, а массы при нём не меняются. Значит, не меняется и $p$, то есть модули скоростей обоих тел после удара те же, что и до. Удару остаётся единственная возможность: повернуть оба импульса на один и тот же угол $\chi$, сохранив их противоположность.

Упругий удар в системе центра масс — это поворот, и только поворот. Насколько повернёт, зависит от прицельного параметра и формы тел. Но модули скоростей заданы заранее законами сохранения, и никакая физика удара их не меняет.

Лобовой удар

Пусть тело массы $m_1$ со скоростью $v$ налетает на покоящееся тело массы $m_2$. Скорость центра масс:

В этой системе первое тело имеет скорость $u_1=v-V$, второе $u_2=-V$. Удар лобовой, значит поворот на $180^\circ$, то есть обе меняют знак. Возвращаемся, прибавляя $V$:

Три случая

Равные массы. $m_1=m_2$, и тогда $v_1'=0$, $v_2'=v$: налетающее тело останавливается, а мишень уходит с его скоростью. Тела полностью обмениваются скоростями, а вместе с ними импульсом и энергией.

Лёгкий бьёт в тяжёлое. $m_2\gg m_1$, и тогда $v_1'\to-v$, а $v_2'\to 0$: налетающее тело отражается с прежним модулем скорости, мишень остаётся почти неподвижной. Импульс налетающего тела меняется при этом на $2m_1 v$, и ровно столько получает мишень — её скорость близка к нулю только из-за большой массы.

Тяжёлое бьёт в лёгкое. $m_1\gg m_2$, и тогда $v_2'\to 2v$, а $v_1'\to v$: налетающее тело почти не меняет скорости, а мишень улетает вдвое быстрее него. Если тела движутся навстречу, относительная скорость вдвое больше, и предел становится $3v$:

Здесь лёгкое тело встречает тяжёлое лоб в лоб. Тяжёлое идёт вверх со скоростью $v$, лёгкое вниз со скоростью $v$, относительная скорость равна $2v$, и в системе центра масс лёгкое разворачивается именно с ней.

При упругом ударе двух тел равной массы, одно из которых до удара покоилось, скорости после удара всегда взаимно перпендикулярны. Угол между ними не зависит ни от скорости, ни от прицельного параметра. Единственное исключение — строго лобовой удар: налетающее тело останавливается, и направление его скорости после удара уже не определено.

Доказательство

Запишем сохранение импульса и энергии для равных масс, сократив $m$:

Возведём первое равенство в квадрат и получим $v^{2}=v_1'^{2}+2\,\vec v_1'\!\cdot\!\vec v_2'+v_2'^{2}$. Сравним это со вторым равенством. Слева в обоих стоит $v^{2}$, а сумма квадратов $v_1'^{2}+v_2'^{2}$ тоже одна и та же, поэтому вычитание оставляет только средний член:

Если удар не лобовой, оба тела после него движутся, то есть $v_1'\ne0$ и $v_2'\ne0$. Обратиться в ноль остаётся только косинусу:

То же самое через центр масс

Геометрическая картинка объясняет не только сам факт, но и то, что ломается при неравных массах. В системе центра масс упругий удар только поворачивает скорости, а модули оставляет прежними. Для налетающего тела это значит, что $\vec u_1'$ может смотреть куда угодно, но его длина всегда одна и та же:

В лабораторную систему возвращаемся прибавлением $\vec V$, то есть $\vec v_1'=\vec V+\vec u_1'$. Отложим все скорости от начала координат. Конец вектора $\vec v_1'$ получается из конца $\vec V$ сдвигом на $\vec u_1'$, длина которого закреплена, а направление любое. Множество таких точек — это окружность радиуса $u_1$ с центром в конце вектора $\vec V$. Конец вектора скорости после удара лежит на ней.

Начало координат попадает на эту окружность тогда, когда расстояние от неё до центра равно радиусу, то есть когда $V=u_1$:

А угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Абсолютно неупругий удар — это удар, после которого тела движутся как одно целое, с общей скоростью. В лабораторной системе её ищут из сохранения импульса. В системе центра масс полный импульс равен нулю в любой момент, а у слипшихся тел он равен произведению суммарной массы на общую скорость. Значит, эта скорость нулевая, и в лаборатории тела после удара движутся со скоростью центра масс $\vec V$.

А вся энергия, которая была в системе центра масс, исчезла, например, ушла в нагрев. Считать её мы уже умеем, это второе слагаемое теоремы Кёнига:

Предельные случаи

Пусть мишень до удара покоится, а налетает на неё тело массы $m_1$.

При равных массах $\mu=m/2$, и потери составляют $mv^{2}/4$ — ровно половину начальной энергии. Вторая половина осталась движению целого, и забрать её уже никто не сможет.

Тяжёлая мишень, $m_2\gg m_1$: приведённая масса стремится к $m_1$, и потери стремятся к $m_1v^{2}/2$, то есть ко всей начальной энергии. Центр масс такой системы почти неподвижен, поэтому движению целого достаётся ничтожная доля.

Лёгкая мишень, $m_1\gg m_2$: приведённая масса стремится к $m_2$, и теряется лишь доля $m_2/m_1$ начальной энергии. Почти всё остаётся движению целого, а налетающее тело после удара едва замедляется.

Столкновение можно прочитать задом наперёд. Импульс по-прежнему сохраняется, значит центр масс продолжает лететь так, как летел бы целый снаряд. Внутренние силы взрыва огромны, но их сумма равна нулю, и сдвинуть точку они не могут.

Отсюда вытекает интересная задача. Снаряд в верхней точке разорвался на два осколка, так что один упал прямо под точку разрыва. Где упадёт второй? Чтобы решить, достаточно знать, что центр масс приземлится там, куда попал бы целый снаряд.

Развалилось тело на части или осталось целым — на движение центра масс это никак не влияет. Пока единственной внешней силой остаётся тяжесть, он продолжает лететь по той же параболе, что и до разрыва. Осколки расходятся вокруг него, а сам он идёт по прежней траектории до самой земли.

Реактивное движение

Ракета выталкивает газ назад и разгоняется вперёд. Это тот же разлёт, растянутый во времени. За малое время выброшена масса $dm$ со скоростью $u$ относительно ракеты; полный импульс не изменился, значит

Это формула Циолковского, и вывели мы её так же через центр масс: у системы «ракета плюс выброшенный газ» он в пустоте не ускоряется вовсе. Ракета летит вперёд только потому, что газ уходит назад.