Мир на карусели

Представьте карусель и человека, который стоит рядом на земле. С карусели катят шар к её краю. Человек на земле видит обычную прямую, ведь шар просто летит, на него ничего не действует, всё ровно так, как завещал Ньютон. Однако человек, сидящий на карусели, видит совсем всё совсем иначе. Для него шар заворачивает вбок, будто его кто-то толкает.

Оба правы. Никто не ошибся в наблюдении, и никакой новой силы во Вселенной не появилось. Разошлись не факты, а системы отсчёта. Разберёмся, откуда берутся «силы», которых нет, и почему пользоваться ими не только законно, но и удобно.

Инерциальная система отсчёта — та, в которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно. В ней работает второй закон Ньютона в привычном виде:

где справа стоят только силы взаимодействия: тяготение, натяжение, реакция опоры, трение. У каждой можно указать тело-источник, и на это тело по третьему закону Ньютона действует равная по модулю и противоположно направленная сила.

Система, связанная с вращающейся каруселью, инерциальной не является. Если честно записать в ней ускорение тела, к силам взаимодействия добавятся слагаемые, зависящие от угловой скорости $\vec\omega$ системы:

Эти добавки называют силами инерции. У них нет источника и нет противодействия: нельзя указать тело, которое толкает шар вбок. Зато с ними второй закон снова выглядит привычно, и задачу можно решать в той системе, где она проще.

Когда ими стоит пользоваться

Ответ достаточно прост и интуитивно понятен: когда в неинерциальной системе картина проще. Груз на вращающейся платформе в лабораторной системе движется по окружности с ускорением, а в системе платформы просто стоит на месте, и задача сводится к равновесию сил. Например, в тормозящем поезде начинает скользить чемодан. В системе поезда это та же самая статика с добавленной силой инерции.

по факту, сила инерции — это часть ускорения, перенесённая в правую часть уравнения

Груз на нити крутится по окружности радиуса $r$ с угловой скоростью $\omega$. В лабораторной системе он движется с центростремительным ускорением:

Действует на груз при этом одна-единственная сила — натяжение нити $T$, направленное к центру. Значит, по второму закону Ньютона именно оно и создаёт всё это ускорение:

В системе, вращающейся вместе с грузом, он неподвижен, то есть ускорение равно нулю. Но нить по-прежнему тянет к центру. Чтобы сумма сил давала ноль, приходится добавить силу, направленную от центра:

Самая частая ошибка происходит тогда, когда путают системы отсчёта. Важно запомнить, что в лабораторной системе отсчёта центробежной силы нет вовсе, есть только натяжение, и именно оно искривляет траекторию. Центробежная сила появляется исключительно во вращающейся системе, и там она уравновешивает натяжение, а не создаёт его.

Ещё одна ошибка — спутать центробежную силу с силой, которую груз действует на нить. Эта вторая сила настоящая, она приложена к нити по третьему закону и существует в любой системе отсчёта.

Проверить себя просто, ведь если сила исчезает при переходе в другую систему, она и есть сила инерции.

Кстати, вес на экваторе меньше, чем на полюсе, по той же причине. Земля вращается, и в системе, связанной с её поверхностью, к силе тяжести добавляется центробежная. На экваторе она вычитается целиком и даёт около трети процента разницы.

Центробежная сила действует и на покоящееся тело. Кориолисова сила появляется только у движущихся, и это её главное отличие от остальных сил:

Штрих у $\vec v'$ здесь принципиален — это скорость, которую видит наблюдатель внутри вращающейся системы, а не в лабораторной. Если тело перестанет двигаться относительно карусели, то сила Кориолиса пропадёт совсем.

Модуль равен $2m\omega v'\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между скоростью и осью вращения. Здесь сразу очевидны два крайних случая. Если двигаться точно вдоль оси ($\alpha=0$), синус обращается в ноль и силы нет совсем. Если поперёк оси ($\alpha=90^\circ$), она максимальна.

Из перпендикулярности следует и очень важное замечание: сила Кориолиса не совершает работы. Напомним, работа — это проекция силы на перемещение, а у перпендикулярной силы такая проекция равна нулю. Поэтому она не разгоняет и не тормозит. Скорость меняется только по направлению, но не по модулю.

Откуда берётся двойка?

Её можно увидеть без векторного произведения. Пусть тело удаляется от оси со скоростью $v$. За время $dt$ оно окажется на расстоянии $r+v\,dt$, и чтобы остаться на месте во вращающейся системе, его окружная скорость обязана вырасти на $\omega v\,dt$. Это первый вклад. Второй такой же появляется из-за того, что сама скорость поворачивается вместе с системой на угол $\omega\,dt$. Два одинаковых вклада дают $2\omega v$.

Отсюда получается оценка бокового отклонения $s$ — насколько тело уйдёт в сторону от своего первоначального направления. Пусть вдоль этого направления оно проходит путь $L$ со скоростью $v$, то есть движется время $t=L/v$. Поперёк направления на него всё это время действует кориолисово ускорение $a=2\omega v$. Пока отклонение мало, ускорение можно считать постоянным, и тогда $s=a t^{2}/2$:

В 1851 году Леон Фуко подвесил под куполом парижского Пантеона шар на нити длиной 67 метров и качнул его. Через несколько часов плоскость качаний заметно повернулась. Именно тогда люди впервые увидели, как вращается Земля.

Вы приглашены увидеть, как вращается Земля

Приглашение Леона Фуко на демонстрацию опыта в Пантеоне, 1851 год

Земля — неинерциальная система отсчёта, поэтому в ней на груз кроме силы тяжести и натяжения нити действует сила Кориолиса. Она перпендикулярна скорости, а значит не меняет ни размаха качаний, ни их периода. Единственное, что она делает, — медленно доворачивает саму плоскость, в которой качается маятник.

Скорость этого доворота задаёт не весь вектор угловой скорости Земли $\vec\Omega$, а только его составляющая вдоль местной вертикали: именно она поворачивает горизонтальные направления в точке подвеса. На широте $\varphi$ эта составляющая равна $\Omega\sin\varphi$, с ней же поворачивается и плоскость качаний. Отсюда период её полного оборота:

На полюсе плоскость обходит круг ровно за сутки. В Париже, на широте 49°, за 32 часа. В Москве, на 56°, примерно за 29. На экваторе синус обращается в ноль, и плоскость не поворачивается вовсе: там опыт Фуко ничего не показывает.

Время в сцене ускорено в тысячи раз, иначе поворот был бы незаметен. Сам маятник качается по обычному уравнению, а плоскость поворачивают с угловой скоростью $\Omega\sin\varphi$.

Земля делает оборот за сутки, то есть $\Omega=7{,}3\cdot10^{-5}$ рад/с. Это мало, и в задачах про падение, допустим, камня Кориолисом пренебрегают. Но если движение долгое или расстояние большое, маленькое ускорение успевает накопить заметный снос.

Циклоны

Циклон — это область пониженного атмосферного давления. Вокруг неё давление выше, и на каждый объём воздуха действует сила барического градиента: она направлена туда, где давление меньше, то есть к центру области. Именно она и гонит воздух внутрь.

Но пока воздух летит к центру, сила Кориолиса сворачивает его вправо в Северном полушарии и влево в Южном. Сойтись в точку он поэтому не может: траектории закручиваются, и вместо схождения получается вихрь, который в Северном полушарии вращается против часовой стрелки.

При больших масштабах отклонение успевает уравновесить перепад давления полностью. Тогда воздух движется не к центру, а вдоль изобар. Это называют геострофическим ветром, и именно поэтому карты погоды читаются как карты ветров.

Центробежная сила объясняет натяжение нити при движении по окружности и уменьшение веса на экваторе. Сила Кориолиса — боковое отклонение снаряда при дальней стрельбе, закрутку воздушных потоков в циклоне и поворот плоскости качаний маятника Фуко. Обе входят в уравнение движения только во вращающейся системе отсчёта: в инерциальной их там нет.

Угловая скорость Земли $\Omega=7{,}3\cdot10^{-5}$ рад/с, радиус $R=6370$ км, $g=9{,}8$ м/с².