Изопроцессы

В ЕГЭ есть два типа задач на эту тему. В первой части могут попросить назвать процесс по кривой, перевести график из одних осей в другие, определить, как изменится один параметр, когда заданы два других. Во второй части изопроцессы входят в развёрнутые задачи на уравнение состояния газа, где решение расписывается полностью.

В основе темы лежит одно уравнение — уравнение состояния идеального газа. Оно связывает три величины: давление, объём и температуру. Изопроцесс получается, когда одну из этих величин удерживают постоянной, а две другие меняются. Таких величин три, поэтому и изопроцессов три.

Разберём каждый, выведем его закон из общего уравнения и научимся узнавать процесс на графике в любых осях.

Идеальным газом называют модель газа, в которой собственный объём молекул считают пренебрежимо малым по сравнению с объёмом сосуда, а силы притяжения между молекулами не учитывают. Молекулы движутся свободно и взаимодействуют только в моменты упругих соударений — друг с другом и со стенками сосуда.

Такая модель описывает реальный газ тем точнее, чем сильнее газ разрежён. При не слишком высоком давлении и не слишком низкой температуре молекулы в среднем далеко друг от друга, их собственный объём и притяжение почти не сказываются, и газ ведёт себя как идеальный.

При большом сжатии или вблизи сжижения модель перестаёт работать: молекулы сближаются, и учитывать приходится и их размер, и притяжение.

Состояние данной массы газа полностью задают три параметра: давление $p$, объём $V$ и температура $T$. Давление и температуру создаёт тепловое движение молекул, а связь между ними устанавливает молекулярно-кинетическая теория.

Давление газа складывается из ударов молекул о стенку: чем чаще и сильнее удары, тем оно больше. Молекулярно-кинетическая теория усредняет удары и даёт связь давления с концентрацией молекул $n$ и их средней кинетической энергией:

где $m_0$ — масса одной молекулы, $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости, а $\bar E=\tfrac{1}{2}m_0\overline{v^2}$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Опыт показывает, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул пропорциональна абсолютной температуре. В этом и состоит физический смысл температуры: она мера интенсивности теплового движения.

где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура в кельвинах, $T=t+273$ при $t$ в градусах Цельсия.

Подставим выражение для средней энергии в основное уравнение. Множители $\tfrac{2}{3}$ и $\tfrac{3}{2}$ сокращаются, и остаётся короткая связь давления, концентрации и температуры:

В уравнении $p=nkT$ концентрация — это число молекул в единице объёма, $n=N/V$. Число молекул выражается через количество вещества: $N=\nu N_\text{A}$, где $\nu=\dfrac{m}{\mu}$ — количество вещества, а $N_\text{A}$ — постоянная Авогадро. Подставим:

Произведение постоянных $N_\text{A}k$ обозначают одной буквой — универсальной газовой постоянной $R$:

Перенесём объём влево и получим уравнение состояния:

Оно связывает три параметра газа при заданной массе, поэтому, задав две любые величины, третью получаем сразу. Именно на этом построено большинство задач.

Если выразить массу через объём и плотность, из уравнения состояния следует связь плотности газа с давлением и температурой:

Для данной массы газа $\dfrac{m}{\mu}R$ — постоянная. Значит, при любом изменении состояния отношение $\dfrac{pV}{T}$ сохраняется:

Изопроцессом называют процесс изменения состояния газа постоянной массы, при котором один из трёх параметров — давление, объём или температуру — удерживают постоянным, а два других меняются. Приставка «изо-» означает «равный, постоянный» и указывает, какой именно параметр закреплён.

В объединённом газовом законе $\dfrac{pV}{T}=\text{const}$ закрепление одной величины сразу превращает его в простую связь двух оставшихся. Так из одного уравнения выходят три газовых закона. Разберём их по очереди.

Условие: $T=\text{const}$, масса постоянна. При постоянной температуре в объединённом законе $\dfrac{pV}{T}$ знаменатель неизменен, поэтому неизменно и произведение $pV$:

Для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объём постоянно. Отсюда видно: во сколько раз сжали газ, во столько же выросло давление.

В осях $(p,V)$ график изотермического процесса — гипербола, её называют изотермой. Чем выше температура, тем дальше изотерма отходит от начала координат. В осях $(p,T)$ и $(V,T)$ изотерма изображается отрезком вертикальной прямой $T=\text{const}$.

Каждой температуре отвечает своя изотерма, и её положение задаёт постоянная $pV=\nu RT$. При меньшей температуре это произведение меньше, поэтому при том же объёме давление ниже, и вся гипербола проходит ближе к осям.

Условие: $p=\text{const}$, масса постоянна. При постоянном давлении в объединённом законе $p$ выносится в постоянные, и неизменным остаётся отношение объёма к температуре:

Для данной массы газа при постоянном давлении объём прямо пропорционален абсолютной температуре: объём растёт во столько же раз, во сколько выросла абсолютная температура.

В осях $(V,T)$ график — прямая, проходящая через начало координат, и её продолжение упирается в $T=0$. В осях $(p,T)$ и $(p,V)$ изобара — отрезок горизонтальной прямой $p=\text{const}$.

Условие: $V=\text{const}$, масса постоянна. При постоянном объёме неизменным остаётся отношение давления к температуре:

Для данной массы газа при постоянном объёме давление прямо пропорционально абсолютной температуре: давление растёт во столько же раз, во сколько выросла абсолютная температура.

В осях $(p,T)$ график — прямая через начало координат. В осях $(p,V)$ и $(V,T)$ изохора — отрезок вертикальной прямой $V=\text{const}$.

О названиях. В школьной традиции изобарный процесс связывают с именем Гей-Люссака, изохорный — с именем Шарля. В части источников привязка имён к процессам другая; в статье держимся одной системы и не смешиваем.

Три газовых закона нашли из опыта поодиночке и раньше, чем сложилась молекулярно-кинетическая картина. Сначала установили постоянство произведения $pV$ при неизменной температуре, затем — пропорциональность объёма и давления абсолютной температуре. Эти три опытных закона свёл в одно соотношение $\dfrac{pV}{T}=\text{const}$ Клапейрон.

Менделеев ввёл в это соотношение количество вещества и единую для всех газов постоянную $R$, и уравнение приняло вид $pV=\dfrac{m}{\mu}RT$, пригодный для любой массы любого идеального газа. Так три частных закона оказались следствиями одного уравнения состояния.

Один и тот же процесс выглядит по-разному в разных осях, и в ЕГЭ часто дают график в одних осях, а спрашивают, как он выглядит в других. Нужно для каждой точки взять её $p$, $V$, $T$ и переставить на нужные оси, помня, что все три связаны уравнением состояния.

Соберём навыки в одной задаче второй части.

Один моль одноатомного идеального газа проходит процесс 1–2–3, график которого дан в осях $p$–$T$. Определим, как меняется объём $V$ на участке 1–2 и плотность $\rho$ на участке 2–3.

Участок 1–2 лежит на прямой, проходящей через начало координат, поэтому вдоль него отношение $\dfrac{p}{T}$ постоянно. Подставим это в уравнение состояния и выразим объём:

Отношение $p/T$ не меняется, значит объём постоянен. Участок 1–2 — изохора, и объём газа в ходе процесса 1–2 не изменяется.

Участок 2–3 вертикальный: температура на нём постоянна, а давление растёт. Это изотермический процесс. Плотность газа выразим из уравнения состояния через давление и температуру:

При постоянной температуре плотность прямо пропорциональна давлению. Давление на участке 2–3 растёт, поэтому плотность увеличивается. К тому же выводу можно прийти из $\rho=\dfrac{m}{V}$: при изотермическом сжатии объём уменьшается, а масса постоянна, поэтому плотность растёт.

Ответ. Объём на участке 1–2 не изменяется, плотность на участке 2–3 увеличивается. В бланке ЕГЭ это записывается двумя цифрами — 31.

Шесть задач из открытого банка ЕГЭ. Посчитайте, впишите ответ и нажмите «Проверить». Разбор открывается кнопкой под задачей.